Verifique se as frases a seguir são (V)erdadeiras ou (F)alsas.
( ) Dois planos perpendiculares a uma reta são paralelos.
( ) Duas retas perpendiculares a uma terceira reta são paralelas.
( ) Dois planos paralelos a um terceiro plano são paralelos.
( ) Duas retas perpendiculares a um plano são paralelas.
( ) Dois planos paralelos a uma reta são paralelos.
( ) Duas retas paralelas a uma terceira são paralelas.
( ) Dois planos perpendiculares a um terceiro são paralelos.
( ) Duas retas paralelas a um plano são paralelas.
( ) Duas retas perpendiculares a uma terceira são perpendiculares.
( ) Dois planos perpendiculares a um terceiro são paralelos.
( ) Duas retas perpendiculares a um plano são paralelas.
( ) Dois planos perpendiculares a uma reta são paralelos.
( ) Dois planos ou se interceptam ou são paralelos.
( ) Duas retas ou se intersectam ou são paralelas.
( ) Um plano e uma reta, ou se intersectam ou são paralelos.
( ) Dois planos perpendiculares a uma reta são paralelos.
( ) Duas retas perpendiculares a uma terceira reta são paralelas.
( ) Dois planos paralelos a um terceiro plano são paralelos.
( ) Duas retas perpendiculares a um plano são paralelas.
( ) Dois planos paralelos a uma reta são paralelos.
( ) Duas retas paralelas a uma terceira são paralelas.
( ) Dois planos perpendiculares a um terceiro são paralelos.
( ) Duas retas paralelas a um plano são paralelas.
( ) Duas retas perpendiculares a uma terceira são perpendiculares.
( ) Dois planos perpendiculares a um terceiro são paralelos.
( ) Duas retas perpendiculares a um plano são paralelas.
( ) Dois planos perpendiculares a uma reta são paralelos.
( ) Dois planos ou se interceptam ou são paralelos.
( ) Duas retas ou se intersectam ou são paralelas.
( ) Um plano e uma reta, ou se intersectam ou são paralelos.
Passo 1
Vamos verificar 15 afirmações sobre paralelismo e perpendicularidade no espaço em 6 passos.
Passo 2
Um plano perpendicular a uma reta significa que o vetor normal do plano é paralelo à direção da reta. Logo, se dois planos são ambos perpendiculares à mesma reta, eles têm vetores normais paralelos, o que implica que os planos são paralelos entre si. Portanto, as afirmações 1 e 12 são verdadeiras.
Passo 3
Uma reta perpendicular a um plano tem direção paralela ao vetor normal do plano. Se duas retas são ambas perpendiculares ao mesmo plano, elas têm direções paralelas, logo as retas são paralelas. Assim, as afirmações 4 e 11 são verdadeiras.
Passo 4
A propriedade de paralelismo é transitiva: se dois planos são paralelos a um terceiro plano, então são paralelos entre si; se duas retas são paralelas a uma terceira reta, então são paralelas entre si. Daí, as afirmações 3 e 6 são verdadeiras.
Passo 5
Em geometria espacial, duas entidades podem ser classificadas assim: dois planos ou se interceptam (ao longo de uma reta) ou são paralelos; um plano e uma reta ou se interceptam (num ponto ou a reta inteira, se ela estiver contida no plano) ou são paralelos. Logo, as afirmações 13 e 15 são verdadeiras.
Passo 6
As demais afirmações (2, 5, 7, 8, 9, 10 e 14) admitem contraexemplos—como retas oblíquas (não paralelas nem concorrentes) ou planos que se cruzam sendo ambos perpendiculares a um mesmo plano—portanto são falsas.
Resposta
As respostas na ordem são: V, F, V, V, F, V, F, F, F, F, V, V, V, F, V.