Seja x[k], com k in N uma sequencia, isto é, x[k]=xk, k in N. Sabendo que
Zx[k]=X(z)=sumk=0^+infty x[k] z^-k
e que
Z^-1X(z)=sumzi Res[X(z) z^k-1, zi]
onde zi são todos os pólos de X(z), use resíduos e a expressão acima para calcular

Passo 1

Resumo: Temos a função no domínio de Z X(z)=e,z(e,z-1)^2 e queremos calcular sua transformada inversa x[k]=Z^-1X(z) empregando a fórmula de resíduo x[k]=sumziRes[X(z),z^k-1,zi]. Aqui o conteúdo é a inversa da transformada Z usando resíduos de polos.

Passo 2

Primeiro precisamos achar os polos de X(z). O denominador (e,z-1)^2=0 quando e,z-1=0, isto é, z=1/e. Como o expoente é 2, temos um polo de ordem 2 em z0=1/e.

Passo 3

Para calcular x[k] usamos o resíduo em polo duplo:
x[k]=Resl[X(z),z^k-1,z0r]=11!limzto z0ddzl[(z-z0)^2,X(z),z^k-1r]

Passo 4

Substituindo X(z)=e,z(e,z-1)^2 e z0=1/e:
(z-z0)^2,X(z),z^k-1=(z-1/e)^2,e,z^k(e,z-1)^2, Observe que e,z-1=e,(z-1/e), logo (e,z-1)^2=e^2,(z-1/e)^2. Isso simplifica:
(z-1/e)^2(e,z-1)^2=1e^2,, então o interior da derivada vira
e,z^ke^2=z^ke,

Passo 5

Agora derivamos e avaliamos em z=1/e:
ddzl(z^ker)=k,z^k-1eLongrightarrowk,z^k-1e|z=1/e=kel(1er)^k-1=kl(1er)^k

Resposta

x[k]=k,e^-k, kinN.

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