Calcule a área do paralelogramo A B C D, onde A(2,1), B(5,3), C(7,9) e D(4,7),

Passo 1

O enunciado fornece as coordenadas dos vértices do paralelogramo A B C D e pede a área do paralelogramo. Dados fornecidos:
A(2,1), B(5,3), C(7,9) e D(4,7).
Pergunta: qual é a área do paralelogramo A B C D?

Passo 2

Vamos obter vetores que geram o paralelogramo a partir de A. Calculamos os vetores \vec{AB} e \vec{AD} subtraindo coordenadas:
\vec{AB} = (5-2,\;3-1) = (3,2),
\vec{AD} = (4-2,\;7-1) = (2,6).
Como verificação rápida (opcional), somando A+\vec{AB}+\vec{AD} obtemos
(2,1)+(3,2)+(2,6)=(7,9)=C,
o que confirma que os pontos estão consistentes com um paralelogramo A B C D.

Passo 3

Fórmula que vamos usar: se dois vetores no plano são \vec{u}=(u_x,u_y) e \vec{v}=(v_x,v_y), a área do paralelogramo gerado por eles é o valor absoluto do determinante 2×2 formado por suas componentes:
\text{Área} = \left|\,u_x v_y - u_y v_x\,\right|.Á
Explicação didática: imagine \vec{u}=(a,0) horizontal e \vec{v}=(b,c). Nesse caso o paralelogramo tem base a e altura |c|, então a área é a\cdot|c|. O determinante dá exatamente a\cdot c (assinatura incluida). Para vetores em posições gerais, uma rotação/translação não muda áreas, e o determinante geral u_x v_y - u_y v_x corresponde a essa base vezes altura (com sinal). Por isso tomamos o valor absoluto para obter a área positiva.

Passo 4

Aplicando a fórmula aos vetores \vec{AB}=(3,2) e \vec{AD}=(2,6):
\det(\vec{AB},\vec{AD}) = 3\cdot6 - 2\cdot2.
Calculando passo a passo:
3\cdot6 = 18,\qquad 2\cdot2 = 4,
\det(\vec{AB},\vec{AD}) = 18 - 4 = 14.

Passo 5

A área do paralelogramo é o valor absoluto do determinante:
\text{Área} = |14| = 14.Á
Força aí — deu certinho!

Resposta

14

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