Seja P o plano que passa pelos pontos A(0,2,1), B(0,1,0) e C(1,0,2). Encontre um vetor \vec{n} ortogonal ao plano P.
Passo 1
O enunciado pede: encontrar um vetor \vec{n} ortogonal ao plano P que passa pelos pontos A(0,2,1), B(0,1,0) e C(1,0,2).\n
Informações dadas:
A=(0,2,1),\qquad B=(0,1,0),\qquad C=(1,0,2).
Pergunta explícita: ache um vetor \vec{n} que seja perpendicular ao plano P determinado por esses três pontos.
Passo 2
Primeiro passo prático: para obter um vetor normal ao plano, vou construir dois vetores quaisquer contidos no plano (por exemplo \overrightarrow{AB} e \overrightarrow{AC}) e depois usar uma operação que gera um vetor perpendicular a ambos. Calma — vou explicar tudo com calma.\n
Cálculo de \overrightarrow{AB} e \overrightarrow{AC}. Para subtrair coordenadas, lembramos que \overrightarrow{PQ}=Q-P componente a componente. Então:
Agora: por que o cruzamento (produto vetorial) serve para achar o normal? O produto vetorial de dois vetores em \mathbb{R}^3 produz um vetor perpendicular a ambos. Se dois vetores estão no plano, o produto vetorial deles é ortogonal ao plano. A fórmula componente a componente para o produto vetorial \vec{u}\times\vec{v} é
onde u_x,u_y,u_z e v_x,v_y,v_z são as componentes de \vec{u} e \vec{v} respectivamente.\n
Aplicando essa fórmula a \overrightarrow{AB}=(0,-1,-1) e \overrightarrow{AC}=(1,-2,1), calculamos cada componente do vetor normal \vec{n}=\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}:
n_x = (-1)\cdot 1 - (-1)\cdot(-2) = -1 - 2 = -3,
n_y = (-1)\cdot 1 - 0\cdot 1 = -1 - 0 = -1,
n_z = 0\cdot(-2) - (-1)\cdot 1 = 0 - (-1) = 1.
Portanto os componentes obtidos são n_x=-3, n_y=-1, n_z=1.
Passo 4
Verificação (sempre bom checar): um vetor normal deve ter produto escalar zero com quaisquer vetores do plano. Calculo os produtos escalares \vec{n}\cdot\overrightarrow{AB} e \vec{n}\cdot\overrightarrow{AC} para confirmar:
Como os dois produtos escalares deram zero, \vec{n} é de fato ortogonal a \overrightarrow{AB} e \overrightarrow{AC}, logo é normal ao plano P.
Passo 5
Observação final e dica para a prova: qualquer múltiplo escalar não-nulo de um vetor normal também é normal. Ou seja, se preferir, pode multiplicar por -1 e usar (3,1,-1) em vez de (-3,-1,1). Ambas as escolhas estão corretas; escolha a que for mais conveniente para contas posteriores.