Calcule a área do triângulo A B C, onde A(3,-1), B(-1,2) e C(7,5).

Passo 1

O enunciado pede a área do triângulo cujos vértices são os pontos A(3,-1), B(-1,2) e C(7,5).
Informações dadas:
A=(3,-1),\qquad B=(-1,2),\qquad C=(7,5).
Pergunta: qual é a área do triângulo ABC?

Passo 2

Escolha do método (explicando sem jargões): aqui vamos usar a “fórmula do determinante” também conhecida como método da regra de Gauss / laço (shoelace). É uma fórmula direta que permite calcular a área de um triângulo apenas com as coordenadas dos vértices — é rápida de aplicar na prova e não precisa de geometria complicada. A fórmula dá a área como metade do valor absoluto de uma soma de produtos envolvendo as coordenadas.

Passo 3

Apresentação da fórmula e o que cada símbolo significa. Se os vértices são (x_1,y_1), (x_2,y_2), (x_3,y_3), a área S do triângulo é dada por
S=\tfrac{1}{2}\left|x_1y_2+x_2y_3+x_3y_1-(y_1x_2+y_2x_3+y_3x_1)\right|.
Explicando: cada x_i e y_i é a abscissa e ordenada do vértice i. A expressão dentro do valor absoluto é a diferença entre duas somas de produtos cruzados; tomar o valor absoluto garante área positiva; dividir por 2 porque a fórmula vem de calcular a área do paralelogramo associado e o triângulo é metade dele.

Passo 4

Agora substituímos as coordenadas dos pontos A,B,C na fórmula. Vou nomear:
(x_1,y_1)=(3,-1),\quad (x_2,y_2)=(-1,2),\quad (x_3,y_3)=(7,5).
Calcule cada termo passo a passo:
x_1y_2 = 3\cdot 2 = 6,
x_2y_3 = (-1)\cdot 5 = -5,
x_3y_1 = 7\cdot(-1) = -7.
Soma desses três termos:
x_1y_2+x_2y_3+x_3y_1 = 6 + (-5) + (-7) = 6-5-7 = -6.

Passo 5

Agora os termos da outra soma:
y_1x_2 = (-1)\cdot(-1) = 1,
y_2x_3 = 2\cdot 7 = 14,
y_3x_1 = 5\cdot 3 = 15.
Soma desses:
y_1x_2+y_2x_3+y_3x_1 = 1+14+15 = 30.

Passo 6

Substituindo na fórmula:
S=\tfrac{1}{2}\left|(-6)-30\right|=\tfrac{1}{2}\left|-36\right|=\tfrac{1}{2}\cdot 36=18.
Interpretação: o valor interno deu -36, o módulo transforma em 36, e metade disso é 18. Portanto a área do triângulo é 18 unidades quadradas.

Passo 7

Exemplo rápido extra (para fixar): para os pontos (0,0),(1,0),(0,1) a fórmula dá
S=\tfrac{1}{2}\left|0\cdot0+1\cdot1+0\cdot0-(0\cdot1+0\cdot0+1\cdot0)\right|=\tfrac{1}{2}|1|=\tfrac{1}{2},
que é o que esperamos para o triângulo retângulo de catetos 1 e 1. Isso mostra como aplicar a fórmula passo a passo.

Resposta

18

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