Calcule a área do paralelogramo formado pelos pontos a seguir
A=(2,-5,3), B=(3,-3,6), C=(4,-3,5), D=(3,-5,2)

Passo 1

O enunciado pede a área do paralelogramo cujos vértices são \,A=(2,-5,3), \,B=(3,-3,6), \,C=(4,-3,5) e \,D=(3,-5,2).
O conteúdo necessário é produto vetorial em \mathbb{R}^3: se \mathbf{u} e \mathbf{v} são vetores adjacentes, a área vale \|\mathbf{u}\times\mathbf{v}\|.

Passo 2

Escolhemos como lados do paralelogramo os vetores a partir de A: \mathbf{u} = \overrightarrow{AB} = B - A = (3-2,\,-3+5,\,6-3) = (1,2,3), \mathbf{v} = \overrightarrow{AD} = D - A = (3-2,\,-5+5,\,2-3) = (1,0,-1).

Passo 3

Calculamos o produto vetorial \mathbf{u}\times\mathbf{v} pelo determinante
\mathbf{u}\times\mathbf{v} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\\\ 1 & 2 & 3 \\\\ 1 & 0 & -1 \end{vmatrix} = (-2)\,\mathbf{i} \;+\; 4\,\mathbf{j} \;-\; 2\,\mathbf{k} \;=\;(-2,\,4,\,-2).

Passo 4

O módulo desse vetor é
\|\mathbf{u}\times\mathbf{v}\| = \sqrt{(-2)^2 + 4^2 + (-2)^2} = \sqrt{4 + 16 + 4} = \sqrt{24} = 2\sqrt{6}.

Resposta

A área do paralelogramo é 2\sqrt{6}.

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