Calcule a área do triângulo formado pelos pontos a seguir
A=(1,2,5), B=(2,4,8), C=(2,2,4)

Passo 1

O enunciado pede a área do triângulo com vértices
A=(1,2,5),\quad B=(2,4,8),\quad C=(2,2,4).
O conteúdo é geometria no espaço: vamos usar o fato de que a área vale
\text{Área} = \frac{1}{2}\bigl\|\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}\bigr\|.Á

Passo 2

Calcular os vetores que partem de A para B e de A para C:
\overrightarrow{AB}=B-A=(2-1,\,4-2,\,8-5)=(1,2,3),
\overrightarrow{AC}=C-A=(2-1,\,2-2,\,4-5)=(1,0,-1).

Passo 3

Fazer o produto vetorial \overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}. Componentes:
(\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC})_1 =2\cdot(-1)-3\cdot0=-2,
(\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC})_2 =3\cdot1-1\cdot(-1)=4,
(\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC})_3 =1\cdot0-2\cdot1=-2.
Logo
\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}=(-2,\,4,\,-2).

Passo 4

Calcular o módulo desse vetor:
\bigl\|(-2,4,-2)\bigr\| =\sqrt{(-2)^2+4^2+(-2)^2} =\sqrt{4+16+4} =\sqrt{24} =2\sqrt{6}.

Passo 5

A área do triângulo é metade desse módulo:
\text{Área}=\frac{1}{2}\times2\sqrt{6}=\sqrt{6}.Á

Resposta

\sqrt{6}

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