Calcule a área do triângulo formado pelos pontos a seguir
A=(3,0,-1), B=(4,1,0), C=(6,4,0)

Passo 1

O enunciado pede a área do triângulo cujos vértices em \mathbb R^3 são A=(3,0,-1), B=(4,1,0) e C=(6,4,0).
O conteúdo é geometria vetorial: vamos usar o produto vetorial para achar o módulo da área do paralelogramo formado pelos vetores \overrightarrow{AB} e \overrightarrow{AC} e depois dividir por 2.

Passo 2

Primeiro, calculamos os vetores \overrightarrow{AB} e \overrightarrow{AC} subtraindo coordenadas:
\overrightarrow{AB} = B - A = (4-3,\;1-0,\;0-(-1)) = (1,1,1),
\overrightarrow{AC} = C - A = (6-3,\;4-0,\;0-(-1)) = (3,4,1).

Passo 3

Agora, obtemos o produto vetorial \overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}. Calculando pelo determinante:
\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k}\\\\ 1 & 1 & 1\\\\ 3 & 4 & 1 \end{vmatrix} = (\,1\cdot1 - 1\cdot4,\;-\,\bigl(1\cdot1 - 1\cdot3\bigr),\;1\cdot4 - 1\cdot3) = (-3,\,2,\,1).

Passo 4

O módulo desse vetor é
\bigl\|(-3,2,1)\bigr\| = \sqrt{(-3)^2 + 2^2 + 1^2} = \sqrt{9 + 4 + 1} = \sqrt{14}.

Passo 5

A área do triângulo é metade da área do paralelogramo, ou seja,
\text{Área} = \frac{1}{2}\,\bigl\|\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}\bigr\| = \frac{1}{2}\,\sqrt{14}.Á

Resposta

\displaystyle \frac{\sqrt{14}}{2}

Exercícios relacionados