Calcule a área do triângulo formado pelos pontos a seguir
A=(1,-1,1), B=(2,1,4), C=(1,2,3)

Passo 1

O enunciado pede a área de um triângulo em \mathbb{R}^3 com vértices \displaystyle A=(1,-1,1), \displaystyle B=(2,1,4) e \displaystyle C=(1,2,3).
O conteúdo envolvido é produto vetorial e norma de vetor, pois
\text{Área} = \frac12 \bigl\|\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}\bigr\|.Á

Passo 2

Calculamos os vetores de posição relativos a A:
\overrightarrow{AB} = B - A = (2-1,\;1-(-1),\;4-1) = (1,\,2,\,3),
\overrightarrow{AC} = C - A = (1-1,\;2-(-1),\;3-1) = (0,\,3,\,2).

Passo 3

Fazemos o produto vetorial
\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k}\\\\ 1 & 2 & 3\\\\ 0 & 3 & 2 \end{vmatrix} = \bigl(2\cdot2 - 3\cdot3,\; -\bigl(1\cdot2 - 3\cdot0\bigr),\;1\cdot3 - 2\cdot0\bigr) = (-5,\,-2,\,3).

Passo 4

Calculamos a norma do produto vetorial:
\bigl\|\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}\bigr\| = \sqrt{(-5)^2 + (-2)^2 + 3^2} = \sqrt{25 + 4 + 9} = \sqrt{38}.

Passo 5

A área do triângulo é metade dessa norma:
\text{Área} = \frac12 \sqrt{38}.Á

Resposta

\displaystyle \frac{\sqrt{38}}{2}

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