Calcule a área da parte do cilindro
que está acima do plano
e abaixo do plano
.
Escolha uma opção:
Escolha uma opção:
Passo 1
Vamos lá! O exercício pede para calcular a área de uma parte específica de um cilindro definido pela equação
. Essa área está localizada acima do plano
e abaixo do plano
. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo multivariável, especificamente integração para encontrar áreas de superfícies curvas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o cilindro
. Essa é a equação de um cilindro circular reto com raio 1, alinhado ao longo do eixo
. Isso significa que, para qualquer valor de
, o corte do cilindro no plano
é um círculo de raio 1.
Passo 3
Queremos encontrar a área da superfície do cilindro que está entre os planos
e
. Para isso, vamos parametrizar o cilindro usando coordenadas polares:
Aqui,
varia de
a
para cobrir todo o círculo base do cilindro.
Passo 4
A altura da parte do cilindro que estamos considerando varia de
até
. A área
da superfície pode ser encontrada integrando essa altura ao longo da circunferência do cilindro:
Como o raio
, a integral simplifica para: