Calcule a área da parte do cilindro x^2+y^2=1 que está acima do plano z=0 e abaixo do plano z=1-y.
Escolha uma opção:
2 pi
3 pi
12 pi
4 pi
16 pi

Passo 1

Vamos lá! O exercício pede para calcular a área de uma parte específica de um cilindro definido pela equação x^2+y^2=1. Essa área está localizada acima do plano z=0 e abaixo do plano z=1-y. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo multivariável, especificamente integração para encontrar áreas de superfícies curvas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o cilindro x^2+y^2=1. Essa é a equação de um cilindro circular reto com raio 1, alinhado ao longo do eixo z. Isso significa que, para qualquer valor de z, o corte do cilindro no plano z=constante é um círculo de raio 1.

Passo 3

Queremos encontrar a área da superfície do cilindro que está entre os planos z=0 e z=1-y. Para isso, vamos parametrizar o cilindro usando coordenadas polares:
x = cos(theta)
y = sin(theta)
Aqui, theta varia de 0 a 2pi para cobrir todo o círculo base do cilindro.

Passo 4

A altura da parte do cilindro que estamos considerando varia de z=0 até z=1-y = 1 - sin(theta). A área A da superfície pode ser encontrada integrando essa altura ao longo da circunferência do cilindro:
A = integral0^2pi (1 - sin(theta)) cdot r , dtheta
Como o raio r = 1, a integral simplifica para:
A = integral0^2pi (1 - sin(theta)) , dtheta = 2pi

Resposta

2 pi

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