Para as funções abaixo indicadas, calcule o diferencial total
, onde
,
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma função de três variáveis,
, e precisamos calcular o diferencial total
. Isso faz parte do cálculo multivariável, especificamente utilizando derivadas parciais. Para resolver, vamos precisar calcular as derivadas parciais de
em relação a cada uma das variáveis
,
e
.
Passo 2
Vamos começar calculando a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
. Para isso, vamos aplicar a regra do quociente, que nos diz que:
Aqui,
e
.
Primeiro, calculamos
:
Em seguida, calculamos
:
Agora, aplicamos a regra do quociente:
Podemos fatorar
:
Passo 3
Agora, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
. Usamos novamente a regra do quociente:
Onde
e
.
Primeiro, calculamos
:
Em seguida, calculamos
:
Aplicando a regra do quociente:
Fatorando
:
Passo 4
Agora, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
. Novamente, usamos a regra do quociente:
Onde
e
.
Primeiro, calculamos
:
Em seguida, calculamos
:
Aplicando a regra do quociente:
Fatorando
:
Passo 5
Com as derivadas parciais calculadas, podemos agora escrever o diferencial total
. Lembrando que:
Substituindo as expressões encontradas para cada derivada parcial:
Resposta
O diferencial total
é dado por: