Para as funções abaixo indicadas, calcule o diferencial total d w, onde
w=e^x^2 y zx^2+y^2+z^3,

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma função de três variáveis, , e precisamos calcular o diferencial total . Isso faz parte do cálculo multivariável, especificamente utilizando derivadas parciais. Para resolver, vamos precisar calcular as derivadas parciais de em relação a cada uma das variáveis , e .

Passo 2

Vamos começar calculando a derivada parcial de partialpartial x(fg) = g cdot partial fpartial x - f cdot partial gpartial xg^2 em relação a partial fpartial x = e^x^2 y z cdot partialpartial x(x^2 y z) = e^x^2 y z cdot (2x y z) , ou seja, partial gpartial x = partialpartial x(x^2 + y^2 + z^3) = 2x . Para isso, vamos aplicar a regra do quociente, que nos diz que:
partial wpartial x = (x^2 + y^2 + z^3) cdot 2x y z e^x^2 y z - e^x^2 y z cdot 2x(x^2 + y^2 + z^3)^2
Aqui, partial wpartial x = 2x e^x^2 y z [ y z (x^2 + y^2 + z^3) - 1 ](x^2 + y^2 + z^3)^2 e .
Primeiro, calculamos :
Em seguida, calculamos :
Agora, aplicamos a regra do quociente:
Podemos fatorar :

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada parcial de partialpartial y(fg) = g cdot partial fpartial y - f cdot partial gpartial yg^2 em relação a partial fpartial y = e^x^2 y z cdot partialpartial y(x^2 y z) = e^x^2 y z cdot (x^2 z) , ou seja, partial gpartial y = partialpartial y(x^2 + y^2 + z^3) = 2y . Usamos novamente a regra do quociente:
partial wpartial y = (x^2 + y^2 + z^3) cdot x^2 z e^x^2 y z - e^x^2 y z cdot 2y(x^2 + y^2 + z^3)^2
Onde partial wpartial y = e^x^2 y z [ x^2 z (x^2 + y^2 + z^3) - 2y ](x^2 + y^2 + z^3)^2 e .
Primeiro, calculamos :
Em seguida, calculamos :
Aplicando a regra do quociente:
Fatorando :

Passo 4

Agora, vamos calcular a derivada parcial de partialpartial z(fg) = g cdot partial fpartial z - f cdot partial gpartial zg^2 em relação a partial fpartial z = e^x^2 y z cdot partialpartial z(x^2 y z) = e^x^2 y z cdot (x^2 y) , ou seja, partial gpartial z = partialpartial z(x^2 + y^2 + z^3) = 3z^2 . Novamente, usamos a regra do quociente:
partial wpartial z = (x^2 + y^2 + z^3) cdot x^2 y e^x^2 y z - e^x^2 y z cdot 3z^2(x^2 + y^2 + z^3)^2
Onde partial wpartial z = e^x^2 y z [ x^2 y (x^2 + y^2 + z^3) - 3z^2 ](x^2 + y^2 + z^3)^2 e .
Primeiro, calculamos :
Em seguida, calculamos :
Aplicando a regra do quociente:
Fatorando :

Passo 5

Com as derivadas parciais calculadas, podemos agora escrever o diferencial total dw = partial wpartial x dx + partial wpartial y dy + partial wpartial z dz . Lembrando que:
dw = 2x e^x^2 y z [ y z (x^2 + y^2 + z^3) - 1 ](x^2 + y^2 + z^3)^2 dx + e^x^2 y z [ x^2 z (x^2 + y^2 + z^3) - 2y ](x^2 + y^2 + z^3)^2 dy + e^x^2 y z [ x^2 y (x^2 + y^2 + z^3) - 3z^2 ](x^2 + y^2 + z^3)^2 dz
Substituindo as expressões encontradas para cada derivada parcial:

Resposta

O diferencial total dw = 2x e^x^2 y z [ y z (x^2 + y^2 + z^3) - 1 ](x^2 + y^2 + z^3)^2 , dx + e^x^2 y z [ x^2 z (x^2 + y^2 + z^3) - 2y ](x^2 + y^2 + z^3)^2 , dy + e^x^2 y z [ x^2 y (x^2 + y^2 + z^3) - 3z^2 ](x^2 + y^2 + z^3)^2 , dz é dado por:

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