Utilizando a definição de diferenciabilidade, prove que as funções abaixo indicadas são diferenciáveis nos respectivos domínios:
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente precisa fazer aqui é provar que a função
é diferenciável no seu domínio usando a definição de diferenciabilidade. Para isso, vamos precisar entender o que é diferenciabilidade, calcular as derivadas parciais e verificar se elas são contínuas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser diferenciável. Uma função de várias variáveis é diferenciável em um ponto se ela pode ser aproximada por uma função linear nesse ponto. Na prática, isso significa que as derivadas parciais existem e são contínuas perto desse ponto.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais de
. A derivada parcial em relação a
é:
E a derivada parcial em relação a
é:
Passo 4
Agora, vamos verificar a continuidade dessas derivadas parciais. A função
é contínua no domínio onde
, que é justamente o domínio de
. Da mesma forma,
também é contínua nesse domínio, já que não tem pontos de descontinuidade onde
.
Passo 5
Como as derivadas parciais de
existem e são contínuas em todo o domínio onde
está definida (ou seja, onde
), podemos concluir, de acordo com o teorema da diferenciabilidade, que a função
é diferenciável nesse domínio.
Resposta
A função
é diferenciável em todo o seu domínio onde
.