Utilizando a definição de diferenciabilidade, prove que as funções abaixo indicadas são diferenciáveis nos respectivos domínios:
f(x, y)=x^2y.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente precisa fazer aqui é provar que a função é diferenciável no seu domínio usando a definição de diferenciabilidade. Para isso, vamos precisar entender o que é diferenciabilidade, calcular as derivadas parciais e verificar se elas são contínuas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser diferenciável. Uma função de várias variáveis é diferenciável em um ponto se ela pode ser aproximada por uma função linear nesse ponto. Na prática, isso significa que as derivadas parciais existem e são contínuas perto desse ponto.

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais de fx = partialpartial x ( x^2y ) = 2xy . A derivada parcial em relação a fy = partialpartial y ( x^2y ) = -x^2y^2 é:
E a derivada parcial em relação a é:

Passo 4

Agora, vamos verificar a continuidade dessas derivadas parciais. A função é contínua no domínio onde , que é justamente o domínio de . Da mesma forma, também é contínua nesse domínio, já que não tem pontos de descontinuidade onde .

Passo 5

Como as derivadas parciais de existem e são contínuas em todo o domínio onde está definida (ou seja, onde ), podemos concluir, de acordo com o teorema da diferenciabilidade, que a função é diferenciável nesse domínio.

Resposta

A função é diferenciável em todo o seu domínio onde .

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