Mediante a definição de derivada parcial, para (x, y) in R^2 tal que x^2-y neq 0, calcule
partial f(x, y)partial y
onde
f(x, y)=x+2 yx^2-y

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para calcular a derivada parcial de uma função em relação a , ou seja, . Isso faz parte do estudo de derivadas parciais, que são usadas quando temos funções com mais de uma variável e queremos ver como a função muda em relação a uma delas, mantendo as outras constantes. Para resolver isso, vamos precisar usar a regra do quociente, que é uma técnica de derivação para frações.

Passo 2

Primeiro, identifiquemos o numerador e o denominador da nossa função:
  • Numerador: partialpartial y(ND) = D cdot partial Npartial y - N cdot partial Dpartial yD^2
  • Denominador:
Queremos encontrar . De acordo com a regra do quociente, a derivada de uma função em relação a é dada por:
Então, vamos calcular as derivadas dos componentes.

Passo 3

Calculando a derivada do numerador partial Npartial y = partialpartial y(x + 2y) = 0 + 2 = 2 em relação a :
Aqui, tratamos como uma constante, então a derivada de em relação a é zero, e a derivada de é 2.

Passo 4

Agora, calculamos a derivada do denominador partial Dpartial y = partialpartial y(x^2 - y) = 0 - 1 = -1 em relação a :
Novamente, é tratado como uma constante, então a derivada de é .

Passo 5

Agora, aplicamos a regra do quociente substituindo os valores que encontramos:
partial fpartial y = (x^2 - y) cdot 2 - (x + 2y) cdot (-1)(x^2 - y)^2
Simplificando o numerador:
2(x^2 - y) + (x + 2y) = 2x^2 - 2y + x + 2y = 2x^2 + x

Resposta

A derivada parcial de partial fpartial y = 2x^2 + x(x^2 - y)^2 em relação a é:

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