Mediante a definição de derivada parcial, para
tal que
, calcule
onde
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para calcular a derivada parcial de uma função
em relação a
, ou seja,
. Isso faz parte do estudo de derivadas parciais, que são usadas quando temos funções com mais de uma variável e queremos ver como a função muda em relação a uma delas, mantendo as outras constantes. Para resolver isso, vamos precisar usar a regra do quociente, que é uma técnica de derivação para frações.
Passo 2
Primeiro, identifiquemos o numerador e o denominador da nossa função:
- Numerador:
- Denominador:
Queremos encontrar
. De acordo com a regra do quociente, a derivada de uma função
em relação a
é dada por:
Então, vamos calcular as derivadas dos componentes.
Passo 3
Calculando a derivada do numerador
em relação a
:
Aqui, tratamos
como uma constante, então a derivada de
em relação a
é zero, e a derivada de
é 2.
Passo 4
Agora, calculamos a derivada do denominador
em relação a
:
Novamente,
é tratado como uma constante, então a derivada de
é
.
Passo 5
Agora, aplicamos a regra do quociente substituindo os valores que encontramos:
Simplificando o numerador:
Resposta
A derivada parcial de
em relação a
é: