Calcule a área da parte do cilindro x^2+y^2=4 que está acima do plano z=0 e abaixo do plano z=y+4.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente precisa fazer é calcular a área de uma parte específica de um cilindro. O cilindro é definido pela equação x^2+y^2=4, que basicamente descreve um cilindro circular com raio 2. A parte que a gente quer está acima do plano z=0 (o plano xy) e abaixo do plano z=y+4. Para resolver isso, vamos precisar usar um pouco de cálculo multivariado, especificamente a integral de superfície.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a forma do cilindro. A equação x^2+y^2=4 representa um cilindro circular reto, cujo eixo é paralelo ao eixo z. O raio é raiz4 = 2. Isso significa que, para qualquer valor de z, a seção transversal do cilindro é um círculo de raio 2.

Passo 3

Agora, vamos visualizar os planos que limitam nossa área. O plano z=0 é simplesmente o chão, e o plano z=y+4 é um plano inclinado. Queremos a parte do cilindro que está entre esses dois planos. Então, para cada ponto no cilindro, z varia de 0 até y+4.

Passo 4

Para calcular a área da superfície do cilindro, usamos a fórmula da integral de superfície. No caso de um cilindro, podemos parametrizar a superfície usando coordenadas cilíndricas. Vamos definir:
x = 2costheta
y = 2sintheta
z = z
onde theta varia de 0 a 2pi para cobrir todo o círculo, e z varia de 0 a y+4 = 2sintheta + 4.

Passo 5

A área da superfície em coordenadas cilíndricas é dada por:
A = integral integral raiz(partial rpartial theta)^2 + (partial rpartial z)^2 , dtheta , dz
Para o nosso cilindro, o elemento de área simplifica para 2 , dtheta , dz, já que o raio é constante (2).

Passo 6

Agora, vamos estabelecer os limites de integração. theta vai de 0 a 2pi e z vai de 0 a 2sintheta + 4. Então, a integral fica:
A = integral0^2pi integral0^2sintheta + 4 2 , dz , dtheta

Passo 7

Vamos resolver a integral interna em relação a z primeiro:
integral0^2sintheta + 4 2 , dz = 2z |0^2sintheta + 4 = 2(2sintheta + 4) = 4sintheta + 8
Então, a integral fica:
A = integral0^2pi (4sintheta + 8) , dtheta

Passo 8

Agora, integramos em relação a theta:
integral0^2pi 4sintheta , dtheta = -4costheta |0^2pi = -4(cos2pi - cos0) = -4(1 - 1) = 0
integral0^2pi 8 , dtheta = 8theta |0^2pi = 8(2pi - 0) = 16pi
Somando as duas partes:
A = 0 + 16pi = 16pi

Resposta

A área da parte do cilindro x^2+y^2=4 que está acima do plano z=0 e abaixo do plano z=y+4 é 16pi unidades de área.

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