Calcule a área da parte do cilindro que está acima do plano e abaixo do plano .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente precisa fazer é calcular a área de uma parte específica de um cilindro. O cilindro é definido pela equação , que basicamente descreve um cilindro circular com raio 2. A parte que a gente quer está acima do plano (o plano xy) e abaixo do plano . Para resolver isso, vamos precisar usar um pouco de cálculo multivariado, especificamente a integral de superfície.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a forma do cilindro. A equação representa um cilindro circular reto, cujo eixo é paralelo ao eixo z. O raio é . Isso significa que, para qualquer valor de z, a seção transversal do cilindro é um círculo de raio 2.
Passo 3
Agora, vamos visualizar os planos que limitam nossa área. O plano é simplesmente o chão, e o plano é um plano inclinado. Queremos a parte do cilindro que está entre esses dois planos. Então, para cada ponto no cilindro, z varia de 0 até .
Passo 4
Para calcular a área da superfície do cilindro, usamos a fórmula da integral de superfície. No caso de um cilindro, podemos parametrizar a superfície usando coordenadas cilíndricas. Vamos definir:
onde varia de 0 a para cobrir todo o círculo, e z varia de 0 a .
Passo 5
A área da superfície em coordenadas cilíndricas é dada por:
Para o nosso cilindro, o elemento de área simplifica para , já que o raio é constante (2).
Passo 6
Agora, vamos estabelecer os limites de integração. vai de 0 a e vai de 0 a . Então, a integral fica:
Passo 7
Vamos resolver a integral interna em relação a z primeiro: