Faça um mapa de contorno da função mostrando varias curvas de nível.
f(x, y)=(x-y)^2, x >= 0, y >= 0

Passo 1

Estamos no primeiro quadrante (x>=0,;y>=0) e queremos desenhar o mapa de contorno da função
f(x,y)=(x-y)^2
Mapa de contorno significa desenhar várias curvas de nível f(x,y)=c para diferentes valores de c>=0.

Passo 2

Para encontrar as curvas de nível, igualamos
f(x,y)=c Longrightarrow (x-y)^2=c
Tomando raiz quadrada em ambos os lados obtemos as duas famílias de retas
x - y = raizc e x - y = -,raizc

Passo 3

Cada valor fixo de c gera duas retas paralelas à bissetriz x=y. No primeiro quadrante cada uma dessas retas fica cortada pelos eixos x>=0 e y>=0.

Passo 4

Por exemplo, escolha alguns valores de c:
c=0:;x-y=0(reta x=y),
c=1:;x-y=1e x-y=-1,
c=4:;x-y=2e x-y=-2,
c=9:;x-y=3e x-y=-3,
etc.

Passo 5

Para desenhar o mapa:
  1. Trace a bissetriz x=y (nível zero).
  2. Sobre o mesmo desenho, trace as retas paralelas x=y+1 e y=x+1 (nível c=1).
  3. Em seguida, trace x=y+2 e y=x+2 (nível c=4), e assim por diante.
  4. Somando mais níveis, ficará evidente um “pente” de retas paralelas igualmente espaçadas ao longo da direção normal à bissetriz.

Resposta

As curvas de nível de f(x,y)=(x-y)^2 no primeiro quadrante são as retas, para cada c>=0:
x - y = raizc e x - y = -raizc,
intersectadas com x>=0,;y>=0. Em particular, para c=0,1,4,9,dots obtemos, respectivamente,
x=y, x=ypm1, x=ypm2, x=ypm3, ;dots
essas são as linhas paralelas à bissetriz desenhadas no mapa de contorno.

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