a) Calcule a área da parte do cone z=\sqrt{x^{2}+y^{2}} que está dentro do cilindro x^{2}+y^{2}=2 x.
b) Parametrize a curva formada pela intesecção do cone e cilindro acima.
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede:
É dada a superfície do cone z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}.
É dado o cilindro de eixo z definido por x^{2}+y^{2}=2x.
Pergunta (a): calcular a área da parte do cone que está dentro (projetada sobre) o cilindro acima.
Pergunta (b): parametrizar a curva de interseção entre o cone e o cilindro.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
A equação do cone em coordenadas cartesianas é z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}.
A equação do cilindro em coordenadas cartesianas é x^{2}+y^{2}=2x.
A interseção entre o cilindro (no plano xy) e a projeção do cone determina a região sobre a qual será calculada a área do cone.
Passo 2
Vou simplificar a descrição do cilindro e passar para coordenadas polares, porque o cone tem forma radial (z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}) e polares deixam isso bem fácil.
Reescrevendo o cilindro:
x^{2}+y^{2}=2x
Completa-se o quadrado em x:
(x-1)^{2}+y^{2}=1.
Portanto, o cilindro corresponde à circunferência de raio 1 centrada em (1,0) no plano xy. Em coordenadas polares (r,\theta) com x=r\cos\theta e y=r\sin\theta, a equação x^{2}+y^{2}=2x fica
Agora vamos parametrizar a porção do cone como uma superfície por coordenadas polares naturais. A parametrização conveniente é usar (r,\theta) diretamente na superfície:
Explicando por que: para cada direção \theta com \cos\theta\ge0, a interseção com o cilindro dá r=2\cos\theta; dentro do cilindro temos 0\le r\le 2\cos\theta.
Passo 4
Fórmula para área de superfície parametrizada: se \mathbf{X}(u,v) é uma parametrização, o elemento de área é
Observação: as primeiras duas componentes x=1+\cos(2\theta), y=\sin(2\theta) descrevem a circunferência de centro (1,0) e raio 1 no plano xy, como esperado. A terceira componente z=2\cos\theta fornece a altitude na interseção com o cone.