a) Calcule a área da parte do cone z=\sqrt{x^{2}+y^{2}} que está dentro do cilindro x^{2}+y^{2}=2 x.
b) Parametrize a curva formada pela intesecção do cone e cilindro acima.

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede:
  • É dada a superfície do cone z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}.
  • É dado o cilindro de eixo z definido por x^{2}+y^{2}=2x.
  • Pergunta (a): calcular a área da parte do cone que está dentro (projetada sobre) o cilindro acima.
  • Pergunta (b): parametrizar a curva de interseção entre o cone e o cilindro.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A equação do cone em coordenadas cartesianas é z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}.
  • A equação do cilindro em coordenadas cartesianas é x^{2}+y^{2}=2x.
  • A interseção entre o cilindro (no plano xy) e a projeção do cone determina a região sobre a qual será calculada a área do cone.

Passo 2

Vou simplificar a descrição do cilindro e passar para coordenadas polares, porque o cone tem forma radial ( z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}) e polares deixam isso bem fácil.
Reescrevendo o cilindro:
x^{2}+y^{2}=2x
Completa-se o quadrado em x:
(x-1)^{2}+y^{2}=1.
Portanto, o cilindro corresponde à circunferência de raio 1 centrada em (1,0) no plano xy. Em coordenadas polares (r,\theta) com x=r\cos\theta e y=r\sin\theta, a equação x^{2}+y^{2}=2x fica
r^{2}=2r\cos\theta \quad\Rightarrow\quad r=0 \\ \text{ou}\\ r=2\cos\theta.
A curva não-trivial é r=2\cos\theta. Como r\ge0, isso exige \cos\theta\ge0, logo o parâmetro \theta varia em
\theta\in\left[-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}\right].

Passo 3

Agora vamos parametrizar a porção do cone como uma superfície por coordenadas polares naturais. A parametrização conveniente é usar (r,\theta) diretamente na superfície:
\mathbf{X}(r,\theta)=\bigl(r\cos\theta,\;r\sin\theta,\;r\bigr),
porque z=r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}. Os domínios de r e \theta para a região dentro do cilindro são
0\le r\le 2\cos\theta,\qquad \theta\in\left[-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}\right].
Explicando por que: para cada direção \theta com \cos\theta\ge0, a interseção com o cilindro dá r=2\cos\theta; dentro do cilindro temos 0\le r\le 2\cos\theta.

Passo 4

Fórmula para área de superfície parametrizada: se \mathbf{X}(u,v) é uma parametrização, o elemento de área é
dS=\bigl\lVert \mathbf{X}_u\times\mathbf{X}_v\bigr\rVert du\,dv.
Aqui u=r e v=\theta. Vou calcular \mathbf{X}_r, \mathbf{X}_\theta, o produto vetorial e sua norma passo a passo.
Cálculo das derivadas parciais:
\mathbf{X}_r=(\cos\theta,\;\sin\theta,\;1),
\mathbf{X}_\theta=(-r\sin\theta,\;r\cos\theta,\;0).
Produto vetorial \mathbf{X}_r\times\mathbf{X}_\theta. Faço a expansão em determinante:
\mathbf{X}_r\times\mathbf{X}_\theta= \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\\ \cos\theta & \sin\theta & 1 \\\\ - r\sin\theta & r\cos\theta & 0 \end{vmatrix}.
Calculando as componentes:
\mathbf{X}_r\times\mathbf{X}_\theta = \bigl(-r\cos\theta,\; -r\sin\theta,\; r(\cos^2\theta+\sin^2\theta)\bigr).
Como \cos^2\theta+\sin^2\theta=1, isso simplifica para
\mathbf{X}_r\times\mathbf{X}_\theta = r\bigl(-\cos\theta,\; -\sin\theta,\;1\bigr).
Agora a norma:
\bigl\lVert \mathbf{X}_r\times\mathbf{X}_\theta\bigr\rVert = r\sqrt{(-\cos\theta)^2+(-\sin\theta)^2+1^2} = r\sqrt{\cos^2\theta+\sin^2\theta+1} = r\sqrt{2}.
Portanto o elemento de área é
dS = r\sqrt{2}\,dr\,d\theta.

Passo 5

Calcular a área integrando sobre a região em (r,\theta):
A=\iint_{D} dS = \int_{\theta=-\pi/2}^{\pi/2}\int_{r=0}^{2\cos\theta} r\sqrt{2}\,dr\,d\theta.
Integro primeiro em r:
\int_{0}^{2\cos\theta} r\,dr = \left.\tfrac{1}{2}r^{2}\right|_{0}^{2\cos\theta} = \tfrac{1}{2}\bigl(2\cos\theta\bigr)^{2} = \tfrac{1}{2}\cdot 4\cos^{2}\theta = 2\cos^{2}\theta.
Substituo na integral:
A = \sqrt{2}\int_{-\pi/2}^{\pi/2} 2\cos^{2}\theta\,d\theta = 2\sqrt{2}\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\cos^{2}\theta\,d\theta.
Uso a identidade \cos^{2}\theta=\tfrac{1+\cos(2\theta)}{2}. Então
\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\cos^{2}\theta\,d\theta = \int_{-\pi/2}^{\pi/2}\tfrac{1+\cos(2\theta)}{2}\,d\theta = \tfrac{1}{2}\int_{-\pi/2}^{\pi/2}1\,d\theta + \tfrac{1}{2}\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\cos(2\theta)\,d\theta.
A segunda integral é zero (função ímpar sobre intervalo simétrico para 2\theta), e a primeira dá \tfrac{1}{2}\cdot\pi. Logo
\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\cos^{2}\theta\,d\theta=\tfrac{\pi}{2}.
Portanto a área é
A = 2\sqrt{2}\cdot\tfrac{\pi}{2} = \pi\sqrt{2}.
Pequeno comentário amigo: então a área da parte do cone dentro daquele cilindro é \pi\sqrt{2}. Ótimo — não foi tão assustador quanto parecia.

Passo 6

Agora a parametrização da curva de interseção cone ∩ cilindro.
Na interseção temos simultaneamente r=2\cos\theta (do cilindro em polares) e z=r (do cone). Tomando \theta como parâmetro, a curva é dada por
\mathbf{r}(\theta)=\bigl(r\cos\theta,\;r\sin\theta,\;r\bigr) \quad\text{com } r=2\cos\theta.
Substituindo r:
\mathbf{r}(\theta)=\bigl(2\cos^{2}\theta,\;2\cos\theta\sin\theta,\;2\cos\theta\bigr), \qquad \theta\in\left[-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}\right].
Podemos simplificar usando identidades duplo-ângulo:
2\cos^{2}\theta = 1+\cos(2\theta),\qquad 2\cos\theta\sin\theta=\sin(2\theta).
Assim uma forma alternativa é
\mathbf{r}(\theta)=\bigl(1+\cos(2\theta),\;\sin(2\theta),\;2\cos\theta\bigr), \qquad \theta\in\left[-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}\right].
Observação: as primeiras duas componentes x=1+\cos(2\theta), y=\sin(2\theta) descrevem a circunferência de centro (1,0) e raio 1 no plano xy, como esperado. A terceira componente z=2\cos\theta fornece a altitude na interseção com o cone.

Resposta

\pi\sqrt{2}\n \mathbf{r}(\theta)=\bigl(2\cos^{2}\theta,\;2\cos\theta\sin\theta,\;2\cos\theta\bigr),\quad \theta\in\left[-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}\right]

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