Calcule a área da região delimitada pelas curvas x=e^{y}-1 e x=e^{y} e pelas retas y=0 e y=1.

Passo 1

O enunciado pede: calcular a área da região limitada pelas curvas x=e^{y}-1 e x=e^{y} e pelas retas y=0 e y=1.
Informações dadas:
  • Curva 1: x=e^{y}-1.
  • Curva 2: x=e^{y}.
  • Retas horizontais: y=0 e y=1.
  • A região é a parte do plano com y variando entre 0 e 1, e entre as duas curvas em x.

Passo 2

Vamos escolher uma forma prática de calcular áreas quando as curvas são dadas como x em função de y. A fórmula básica é: para duas funções x=x_{\text{direita}}(y) e x=x_{\text{esquerda}}(y) com a\le y\le b,
\text{Área}=\int_{a}^{b}\bigl(x_{\text{direita}}(y)-x_{\text{esquerda}}(y)\bigr)\,dy.Á
Explicando: fatiamos a região em tiras horizontais (cada tira com espessura dy). Em cada altura y a largura da tira é a diferença entre a abscissa da curva da direita e a da curva da esquerda; somando essas larguras ao longo de y (integrando) obtemos a área.

Passo 3

Identificar qual curva é a da direita e qual é a da esquerda para y\in[0,1].
Comparando as expressões:
x_{\text{esquerda}}(y)=e^{y}-1,\qquad x_{\text{direita}}(y)=e^{y}.
Para todo y real tem-se e^{y}-1<e^{y} (subtraiu-se 1). Portanto x=e^{y} é a curva da direita e x=e^{y}-1 é a da esquerda no intervalo y\in[0,1].

Passo 4

Calcular a largura da fati a em altura y:
x_{\text{direita}}(y)-x_{\text{esquerda}}(y)=e^{y}-(e^{y}-1)=1.
Observação: a diferença é exatamente 1, uma constante — a largura da região não depende de y.

Passo 5

Montar a integral da área usando a fórmula do Passo 2, com a=0 e b=1:
\text{Área}=\int_{0}^{1} 1\,dy.Á
Explicando a integral: integrar a função constante 1 em relação a y significa somar unidades de largura ao longo do intervalo de altura de comprimento 1.

Passo 6

Calcular a integral:
\int_{0}^{1} 1\,dy = \bigl[y\bigr]_{0}^{1}=1-0=1.

Passo 7

Checagem intuitiva: como a largura é sempre 1 e a altura do intervalo em y vai de 0 a 1 (altura igual a 1), a região é um retângulo de base 1 por altura 1, logo área 1. Isso confirma o resultado da integral.

Resposta

1

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