Calcule a área da região delimitada pelas curvas
e
e pelas retas
e
.
Passo 1
O enunciado pede: calcular a área da região limitada pelas curvas
e
e pelas retas
e
.
Informações dadas:
- Curva 1:
. - Curva 2:
. - Retas horizontais:
e . - A região é a parte do plano com
variando entre e , e entre as duas curvas em .
Passo 2
Vamos escolher uma forma prática de calcular áreas quando as curvas são dadas como
em função de
. A fórmula básica é: para duas funções
e
com
,
Explicando: fatiamos a região em tiras horizontais (cada tira com espessura
). Em cada altura
a largura da tira é a diferença entre a abscissa da curva da direita e a da curva da esquerda; somando essas larguras ao longo de
(integrando) obtemos a área.
Passo 3
Identificar qual curva é a da direita e qual é a da esquerda para
.
Comparando as expressões:
Para todo
real tem-se
(subtraiu-se 1). Portanto
é a curva da direita e
é a da esquerda no intervalo
.
Passo 4
Calcular a largura da fati a em altura
:
Observação: a diferença é exatamente
, uma constante — a largura da região não depende de
.
Passo 5
Montar a integral da área usando a fórmula do Passo 2, com
e
:
Explicando a integral: integrar a função constante
em relação a
significa somar unidades de largura ao longo do intervalo de altura de comprimento
.
Passo 6
Calcular a integral:
Passo 7
Checagem intuitiva: como a largura é sempre
e a altura do intervalo em
vai de
a
(altura igual a
), a região é um retângulo de base
por altura
, logo área
. Isso confirma o resultado da integral.