Considere a curva parametrizada dada por \sigma(t)=\left(t^{2}, t^{3} / 3\right), com t \in(0, \infty).
a) Encontre o comprimento da curva do ponto (0,0) ao ponto (4,8).
b) Encontre a tangente e normal principal a curva no ponto ( 1,9 ).
c) Supondo que \sigma(t) representa a posição de uma partícula no tempo t (suponha que os eixos estão graduados em metros), encontre a posição da partícula depois que ela percorre uma distância de 11 m.
d) Encontre uma equação cartesiana para \sigma.

Passo 1

O enunciado dá a curva parametrizada
\sigma(t)=\bigl(t^{2},\,t^{3}/3\bigr),\qquad t\in(0,\infty).
Informações dadas e perguntas pedidas:
  • Dados importantes:
    • A curva é \sigma(t)=\bigl(t^{2},\,t^{3}/3\bigr).
    • As unidades (para o item c) são metros.
    • O parâmetro t é positivo (domínio t>0), mas os pontos pedidos podem envolver valores-limite (por exemplo t=0).
  • Perguntas:
    a) Calcular o comprimento da curva do ponto (0,0) até o ponto (4,8).
    b) Encontrar a tangente e a normal principal à curva no ponto (1,9).
    c) Interpretando \sigma(t) como posição em metros, achar a posição da partícula depois que ela percorre uma distância de 11\\ \text{m} ao longo da curva (partindo do início).
    d) Eliminar o parâmetro e dar uma equação cartesiana para \sigma.
Observação importante: o ponto (1,9) aparece no enunciado do item (b); ao longo da resolução vou verificar se esse ponto pertence realmente à curva — caso não pertença, isso impede dar as tangente/normal naquele ponto específico.

Passo 2

Fórmula do comprimento de arco para curvas parametrizadas — breve aula passo a passo.
  • Se uma curva é dada por \sigma(t)=(x(t),y(t)) e t varia de a até b, o comprimento de arco L entre esses parâmetros é
L=\int_a^b \bigl\|\sigma'(t)\bigr\|\,\mathrm{d}t,
onde \sigma'(t)=(x'(t),y'(t)) e a norma é \bigl\|\sigma'(t)\bigr\|=\sqrt{(x'(t))^{2}+(y'(t))^{2}}.
  • Intuição fácil: em cada pequeno trecho dt a curva se desloca aproximadamente \sigma'(t)\,dt, cujo comprimento é \|\sigma'(t)\|\,dt; somando isso (integral) obtém-se o comprimento total.
  • Aplicando à nossa curva: x(t)=t^{2} e y(t)=t^{3}/3. Então
x'(t)=2t,\qquad y'(t)=t^{2}.
  • A norma da derivada é
\bigl\|\sigma'(t)\bigr\|=\sqrt{(2t)^{2}+(t^{2})^{2}}=\sqrt{4t^{2}+t^{4}}.
Como t>0 podemos fatorar t:
\sqrt{4t^{2}+t^{4}}=t\sqrt{t^{2}+4}.

Passo 3

Resolver o item (a) — comprimento da curva de (0,0) até (4,8).
  • Primeiro: achar os parâmetros t correspondentes aos pontos extremos.
    • Para (0,0): queremos t tal que \sigma(t)=(0,0). Tem x=t^{2}=0\Rightarrow t=0. Embora o domínio informado seja (0,\infty), o ponto (0,0) corresponde ao limite t\to0^{+}. Podemos tomar o limite inferior 0.
    • Para (4,8): resolver t^{2}=4\Rightarrow t=2 (escolhemos t=2 porque t>0). Verificação: y(2)=2^{3}/3=8/3. Ah — aqui precisamos checar: o ponto (4,8) requer y=8, mas para t=2 temos y=8/3. Logo há um potencial problema: o par (4,8) não coincide com \sigma(2).
  • Temos que verificar consistência: o ponto (4,8) deve satisfazer x=t^{2}=4 e y=t^{3}/3=8. A segunda equação dá t^{3}=24\Rightarrow t=\root3\of{24}, cujo quadrado é \root3\of{24}^{2}, que não é 4. Portanto o ponto (4,8) também NÃO pertence à curva dada.
  • Conclusão intermediária: tanto (0,0) quanto (4,8) não são ambos alcançados por parâmetros compatíveis com a forma \sigma(t). No entanto, é provável que o enunciado quisesse o comprimento entre t=0 e t=2 (ponto com x=4 no sentido t^{2}=4). Vou interpretar a pergunta (a) como pedindo o comprimento entre o ponto associado a t=0 (origem) e o ponto associado a t=2 (onde x=4), i.e. entre \sigma(0)=(0,0) e \sigma(2)=(4,8/3). Essa escolha é natural porque (4,8) não está na curva; o ponto com x=4 na curva tem y=8/3.
  • Assim, o comprimento pedido será
L=\int_{0}^{2} t\sqrt{t^{2}+4}\,\mathrm{d}t.
  • Resolver a integral: use a substituição u=t^{2}+4. Então \mathrm{d}u=2t\,\mathrm{d}t, logo t\,\mathrm{d}t=\frac{1}{2}\mathrm{d}u. Quando t=0 temos u=4; quando t=2 temos u=8. Assim
L=\int_{0}^{2} t\sqrt{t^{2}+4}\,\mathrm{d}t=\frac{1}{2}\int_{4}^{8} u^{1/2}\,\mathrm{d}u.
  • Integrando:
\frac{1}{2}\int_{4}^{8} u^{1/2}\,\mathrm{d}u=\frac{1}{2}\cdot\left[\frac{2}{3}u^{3/2}\right]_{4}^{8}=\frac{1}{3}\bigl(u^{3/2}\bigr)\Big|_{4}^{8} =\frac{1}{3}\bigl(8^{3/2}-4^{3/2}\bigr).
  • Calcule 8^{3/2} e 4^{3/2}:
    • 8^{3/2}=(\sqrt{8})^{3}=(2\sqrt{2})^{3}=8\cdot 2\sqrt{2}=16\sqrt{2}.
    • 4^{3/2}=4\sqrt{4}=4\cdot 2=8.
  • Portanto
L=\frac{1}{3}\bigl(16\sqrt{2}-8\bigr)=\frac{16\sqrt{2}-8}{3}.
  • Interpretação final do item (a): se o enunciado exigia exatamente o ponto (4,8) então não é possível porque (4,8) não pertence à curva. Assumindo a interpretação natural até x=4 (i.e. t=2), o comprimento é \dfrac{16\sqrt{2}-8}{3}.

Passo 4

Resolver o item (b) — tangente e normal principal no ponto (1,9).
  • Primeiro verificar se (1,9) pertence à curva: para pertencer deve existir t>0 com t^{2}=1 e t^{3}/3=9. O primeiro dá t=1; o segundo com t=1 y=1/3, que é diferente de 9. Se tentarmos fazer t^{3}/3=9 obtemos t^{3}=27\Rightarrow t=3, e então x=t^{2}=9, não 1. Logo (1,9) não pertence à curva.
  • Conclusão: não é possível encontrar a tangente e a normal principal no ponto (1,9) porque esse ponto NÃO pertence à curva parametrizada dada. Por isso a pergunta, tal como enunciada, é impossível de cumprir literalmente.
  • Entretanto, para aprender como proceder na prova caso o ponto fosse correto, mostro os passos gerais e a expressão explícita das direções tangente e normal em função de t (útil se o enunciado tivesse, por exemplo, pedido a tangente no ponto correspondente a t=1 ou t=3).
Aulas rápidas necessárias (com passos e explicações):
  • Vetor tangente e vetor velocidade:
    • \sigma'(t)=(2t,\,t^{2}). Esse vetor indica a direção da curva ao tempo t.
  • Vetor tangente unitário (vetor tangente principal):
    • Primeiro norma: \bigl\|\sigma'(t)\bigr\|=t\sqrt{t^{2}+4}.
    • Então o vetor tangente unitário é
    \mathbf{T}(t)=\frac{\sigma'(t)}{\bigl\|\sigma'(t)\bigr\|} =\frac{(2t,\,t^{2})}{t\sqrt{t^{2}+4}} =\Bigl(\frac{2}{\sqrt{t^{2}+4}},\;\frac{t}{\sqrt{t^{2}+4}}\Bigr).
    • Interpretação: \mathbf{T}(t) aponta na direção de movimento com comprimento 1.
  • Normal principal (vetor normal unitário):
    • Definição: \mathbf{N}(t)=\dfrac{\mathbf{T}'(t)}{\|\mathbf{T}'(t)\|}.
    • Calcule \mathbf{T}'(t). Já que \mathbf{T}(t)=\bigl(2/\sqrt{t^{2}+4},\; t/\sqrt{t^{2}+4}\bigr), então (derivando componente a componente)
    \mathbf{T}'(t)=( -2t(t^{2}+4)^{-3/2},\; 4(t^{2}+4)^{-3/2} ) =(t^{2}+4)^{-3/2}(-2t,\,4).
    • Norma de \mathbf{T}'(t):
    \|\mathbf{T}'(t)\|=(t^{2}+4)^{-3/2}\sqrt{(-2t)^{2}+4^{2}} =(t^{2}+4)^{-3/2}\cdot 2\sqrt{t^{2}+4} =\frac{2}{t^{2}+4}.(a conta foi simplificada usando \sqrt{4t^{2}+16}=2\sqrt{t^{2}+4}.)
    • Portanto
    \mathbf{N}(t)=\frac{\mathbf{T}'(t)}{\|\mathbf{T}'(t)\|} =\frac{(t^{2}+4)^{-3/2}(-2t,\,4)}{2/(t^{2}+4)} =\frac{(-t,\,2)}{\sqrt{t^{2}+4}}.
    • Verificação rápida: \mathbf{T}(t) e \mathbf{N}(t) são ortonormais (produto interno nulo e módulos iguais a 1).
  • Exemplo numérico (apenas para fixar a ideia): se t=1 (ponto \sigma(1)=(1,1/3)), então \mathbf{T}(1)=\Bigl(\frac{2}{\sqrt{5}},\;\frac{1}{\sqrt{5}}\Bigr),\qquad \mathbf{N}(1)=\Bigl(\!-\frac{1}{\sqrt{5}},\;\frac{2}{\sqrt{5}}\Bigr).Isso mostra como avaliar quando o ponto pertence à curva.

Passo 5

Resolver o item (c) — posição da partícula após percorrer 11\\ \text{m} ao longo da curva.
  • Interpretação padrão: a partícula parte da posição associada a t=0 (origem (0,0)) e move-se aumentando t; queremos o t tal que o comprimento de arco desde 0 até esse t seja 11.
  • Já calculamos a integral de comprimento até um parâmetro genérico t:
s(t)=\int_{0}^{t} \bigl\|\sigma'(u)\bigr\|\,\mathrm{d}u =\int_{0}^{t} u\sqrt{u^{2}+4}\,\mathrm{d}u.
Usando a mesma substituição w=u^{2}+4 (mesmo procedimento do item (a)) obtemos a forma fechada
s(t)=\frac{1}{3}\Bigl((t^{2}+4)^{3/2}-4^{3/2}\Bigr) =\frac{1}{3}\Bigl((t^{2}+4)^{3/2}-8\Bigr).
  • Queremos s(t)=11. Assim
\frac{1}{3}\Bigl((t^{2}+4)^{3/2}-8\Bigr)=11 \quad\Longrightarrow\quad (t^{2}+4)^{3/2}=41.
  • Elevar ambos os lados a 2/3
t^{2}+4=41^{2/3}\quad\Longrightarrow\quad t^{2}=41^{2/3}-4,
e como t>0,
t=\sqrt{\,41^{2/3}-4\,}.
  • Então a posição da partícula (coordenadas x,y) após percorrer 11\\ \text{m} é
\sigma(t)=\Bigl(t^{2},\;\frac{t^{3}}{3}\Bigr).
Usando t^{2}=41^{2/3}-4 e t^{3}=(t^{2})^{3/2}=(41^{2/3}-4)^{3/2}, a posição fica
\Bigl(41^{2/3}-4,\;\frac{1}{3}\bigl(41^{2/3}-4\bigr)^{3/2}\Bigr).
  • Aproximação numérica (útil para intuição): calcular 41^{2/3}.
    • 41^{2/3}\approx 11{,}8879 (valor aproximado),
    • então t^{2}\approx 7{,}8879, t\approx 2{,}8094.
    • x=t^{2}\approx 7{,}8879\\ \text{m} e y=t^{3}/3\approx 7{,}3897\\ \text{m}.
    • Portanto a posição aproximada é (7{,}8879,\;7{,}3897) metros.

Passo 6

Resolver o item (d) — equação cartesiana eliminando o parâmetro.
  • Temos x=t^{2} e y=t^{3}/3. Para eliminar t, expressamos t por x: para t\ge0 (nosso domínio) t=\sqrt{x}.
  • Substituindo em y:
y=\frac{t^{3}}{3}=\frac{(\sqrt{x})^{3}}{3}=\frac{x^{3/2}}{3}.
  • Então a equação cartesiana da curva (para x\ge0) é
y=\frac{1}{3}x^{3/2},\qquad x\ge 0.
  • Observação: a condição x\ge0 vem do fato de x=t^{2} e do domínio t\ge0.

Resposta

a) \dfrac{16\sqrt{2}-8}{3}.
b) Impossível — o ponto (1,9) não pertence à curva \sigma(t)=\bigl(t^{2},t^{3}/3\bigr), portanto não se pode dar a tangente e a normal naquele ponto. (Em geral, para parâmetro t: \mathbf{T}(t)=\bigl(\dfrac{2}{\sqrt{t^{2}+4}},\dfrac{t}{\sqrt{t^{2}+4}}\bigr) e \mathbf{N}(t)=\bigl(-\dfrac{t}{\sqrt{t^{2}+4}},\dfrac{2}{\sqrt{t^{2}+4}}\bigr).)
c) \displaystyle\Bigl(41^{2/3}-4,\;\frac{1}{3}\bigl(41^{2/3}-4\bigr)^{3/2}\Bigr) \approx(7{,}8879,\;7{,}3897) metros.
d) \displaystyle y=\frac{1}{3}x^{3/2},\quad x\ge 0.

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