Considere a curva parametrizada dada por \sigma(t)=\left(t^{2}, t^{3} / 3\right), com t \in(0, \infty).
a) Encontre o comprimento da curva do ponto (0,0) ao ponto (4,8).
b) Encontre a tangente e normal principal a curva no ponto ( 1,9 ).
c) Supondo que \sigma(t) representa a posição de uma partícula no tempo t (suponha que os eixos estão graduados em metros), encontre a posição da partícula depois que ela percorre uma distância de 11 m.
d) Encontre uma equação cartesiana para \sigma.
O parâmetro t é positivo (domínio t>0), mas os pontos pedidos podem envolver valores-limite (por exemplo t=0).
Perguntas:
a) Calcular o comprimento da curva do ponto (0,0) até o ponto (4,8).
b) Encontrar a tangente e a normal principal à curva no ponto (1,9).
c) Interpretando \sigma(t) como posição em metros, achar a posição da partícula depois que ela percorre uma distância de 11\\ \text{m} ao longo da curva (partindo do início).
d) Eliminar o parâmetro e dar uma equação cartesiana para \sigma.
Observação importante: o ponto (1,9) aparece no enunciado do item (b); ao longo da resolução vou verificar se esse ponto pertence realmente à curva — caso não pertença, isso impede dar as tangente/normal naquele ponto específico.
Passo 2
Fórmula do comprimento de arco para curvas parametrizadas — breve aula passo a passo.
Se uma curva é dada por \sigma(t)=(x(t),y(t)) e t varia de a até b, o comprimento de arco L entre esses parâmetros é
L=\int_a^b \bigl\|\sigma'(t)\bigr\|\,\mathrm{d}t,
onde \sigma'(t)=(x'(t),y'(t)) e a norma é \bigl\|\sigma'(t)\bigr\|=\sqrt{(x'(t))^{2}+(y'(t))^{2}}.
Intuição fácil: em cada pequeno trecho dt a curva se desloca aproximadamente \sigma'(t)\,dt, cujo comprimento é \|\sigma'(t)\|\,dt; somando isso (integral) obtém-se o comprimento total.
Aplicando à nossa curva: x(t)=t^{2} e y(t)=t^{3}/3. Então
Resolver o item (a) — comprimento da curva de (0,0) até (4,8).
Primeiro: achar os parâmetros t correspondentes aos pontos extremos.
Para (0,0): queremos t tal que \sigma(t)=(0,0). Tem x=t^{2}=0\Rightarrow t=0. Embora o domínio informado seja (0,\infty), o ponto (0,0) corresponde ao limite t\to0^{+}. Podemos tomar o limite inferior 0.
Para (4,8): resolver t^{2}=4\Rightarrow t=2 (escolhemos t=2 porque t>0). Verificação: y(2)=2^{3}/3=8/3. Ah — aqui precisamos checar: o ponto (4,8) requer y=8, mas para t=2 temos y=8/3. Logo há um potencial problema: o par (4,8) não coincide com \sigma(2).
Temos que verificar consistência: o ponto (4,8) deve satisfazer x=t^{2}=4 e y=t^{3}/3=8. A segunda equação dá t^{3}=24\Rightarrow t=\root3\of{24}, cujo quadrado é \root3\of{24}^{2}, que não é 4. Portanto o ponto (4,8) também NÃO pertence à curva dada.
Conclusão intermediária: tanto (0,0) quanto (4,8) não são ambos alcançados por parâmetros compatíveis com a forma \sigma(t). No entanto, é provável que o enunciado quisesse o comprimento entre t=0 e t=2 (ponto com x=4 no sentido t^{2}=4). Vou interpretar a pergunta (a) como pedindo o comprimento entre o ponto associado a t=0 (origem) e o ponto associado a t=2 (onde x=4), i.e. entre \sigma(0)=(0,0) e \sigma(2)=(4,8/3). Essa escolha é natural porque (4,8) não está na curva; o ponto com x=4 na curva tem y=8/3.
Assim, o comprimento pedido será
L=\int_{0}^{2} t\sqrt{t^{2}+4}\,\mathrm{d}t.
Resolver a integral: use a substituição u=t^{2}+4. Então \mathrm{d}u=2t\,\mathrm{d}t, logo t\,\mathrm{d}t=\frac{1}{2}\mathrm{d}u. Quando t=0 temos u=4; quando t=2 temos u=8. Assim
Interpretação final do item (a): se o enunciado exigia exatamente o ponto (4,8) então não é possível porque (4,8) não pertence à curva. Assumindo a interpretação natural até x=4 (i.e. t=2), o comprimento é \dfrac{16\sqrt{2}-8}{3}.
Passo 4
Resolver o item (b) — tangente e normal principal no ponto (1,9).
Primeiro verificar se (1,9) pertence à curva: para pertencer deve existir t>0 com t^{2}=1 e t^{3}/3=9. O primeiro dá t=1; o segundo com t=1 dá y=1/3, que é diferente de 9. Se tentarmos fazer t^{3}/3=9 obtemos t^{3}=27\Rightarrow t=3, e então x=t^{2}=9, não 1. Logo (1,9) não pertence à curva.
Conclusão: não é possível encontrar a tangente e a normal principal no ponto (1,9) porque esse ponto NÃO pertence à curva parametrizada dada. Por isso a pergunta, tal como enunciada, é impossível de cumprir literalmente.
Entretanto, para aprender como proceder na prova caso o ponto fosse correto, mostro os passos gerais e a expressão explícita das direções tangente e normal em função de t (útil se o enunciado tivesse, por exemplo, pedido a tangente no ponto correspondente a t=1 ou t=3).
Aulas rápidas necessárias (com passos e explicações):
Vetor tangente e vetor velocidade:
\sigma'(t)=(2t,\,t^{2}). Esse vetor indica a direção da curva ao tempo t.
\|\mathbf{T}'(t)\|=(t^{2}+4)^{-3/2}\sqrt{(-2t)^{2}+4^{2}} =(t^{2}+4)^{-3/2}\cdot 2\sqrt{t^{2}+4} =\frac{2}{t^{2}+4}.(a conta foi simplificada usando \sqrt{4t^{2}+16}=2\sqrt{t^{2}+4}.)
Verificação rápida: \mathbf{T}(t) e \mathbf{N}(t) são ortonormais (produto interno nulo e módulos iguais a 1).
Exemplo numérico (apenas para fixar a ideia): se t=1 (ponto \sigma(1)=(1,1/3)), então\mathbf{T}(1)=\Bigl(\frac{2}{\sqrt{5}},\;\frac{1}{\sqrt{5}}\Bigr),\qquad \mathbf{N}(1)=\Bigl(\!-\frac{1}{\sqrt{5}},\;\frac{2}{\sqrt{5}}\Bigr).Isso mostra como avaliar quando o ponto pertence à curva.
Passo 5
Resolver o item (c) — posição da partícula após percorrer 11\\ \text{m} ao longo da curva.
Interpretação padrão: a partícula parte da posição associada a t=0 (origem (0,0)) e move-se aumentando t; queremos o t tal que o comprimento de arco desde 0 até esse t seja 11.
Já calculamos a integral de comprimento até um parâmetro genérico t:
Então a equação cartesiana da curva (para x\ge0) é
y=\frac{1}{3}x^{3/2},\qquad x\ge 0.
Observação: a condição x\ge0 vem do fato de x=t^{2} e do domínio t\ge0.
Resposta
a) \dfrac{16\sqrt{2}-8}{3}.
b) Impossível — o ponto (1,9) não pertence à curva \sigma(t)=\bigl(t^{2},t^{3}/3\bigr), portanto não se pode dar a tangente e a normal naquele ponto. (Em geral, para parâmetro t: \mathbf{T}(t)=\bigl(\dfrac{2}{\sqrt{t^{2}+4}},\dfrac{t}{\sqrt{t^{2}+4}}\bigr) e \mathbf{N}(t)=\bigl(-\dfrac{t}{\sqrt{t^{2}+4}},\dfrac{2}{\sqrt{t^{2}+4}}\bigr).)
c) \displaystyle\Bigl(41^{2/3}-4,\;\frac{1}{3}\bigl(41^{2/3}-4\bigr)^{3/2}\Bigr)\approx(7{,}8879,\;7{,}3897) metros.