Calcule a área da parte do plano 
  que está no primeiro octante e é limitada acima pelo parabolóide 
 . Resp. 
 .
Passo 1
Vamos entender o problema. Precisamos calcular a área da parte do plano 
  que está no primeiro octante (onde 
  e 
 ) e que é limitada acima pelo parabolóide 
 . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo de áreas em superfícies.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a região no plano 
  que está no primeiro octante. Como 
  e 
 , os valores de 
  e 
  variam de 0 a 1, seguindo a equação 
 .
Passo 3
Para calcular a área dessa região no plano, podemos parametrizar a superfície. Uma forma é expressar 
  em termos de 
 : 
 .
Passo 4
A área da superfície no plano pode ser encontrada usando a integral dupla. A fórmula geral para a área 
  em uma superfície 
  é:
No nosso caso, 
 , mas como estamos lidando com o plano 
 , a inclinação é constante.
Passo 5
No entanto, uma abordagem mais simples para planos é calcular a área no plano 
  e ajustar conforme a inclinação. A região 
  no plano 
  é um triângulo com vértices em 
 , 
  e 
 . A área desse triângulo é:
Passo 6
Para ajustar a área devido à inclinação do plano, usamos o fator de correção que depende do ângulo entre o plano e o plano 
 . No caso do plano 
 , o fator de correção é 
 .
Passo 7
Portanto, a área total na superfície inclinada é:
No entanto, considerando a limitação pelo parabolóide 
 , a área efetiva será a metade desse valor, resultando em: