Demonstre as propriedades abaixo, no universo dos números reais, utilizando apenas as propriedades básicas da soma e do produto: associatividade, comutatividade, elemento neutro, existência de oposto (na soma) e inverso (no produto), distributiva: 
 
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente demonstrar algumas propriedades básicas dos números reais, usando só as propriedades fundamentais da soma e do produto. As propriedades que vamos abordar são:
- Associatividade: como agrupamos os números não altera o resultado.
 - Comutatividade: a ordem dos números não muda a soma ou o produto.
 - Elemento neutro: existe um número que, quando somado ou multiplicado, não muda o outro número.
 - Existência de oposto (na soma) e inverso (no produto): para cada número, existe outro que, somado a ele, dá o neutro, e para cada número diferente de zero, existe outro que, multiplicado por ele, dá o neutro.
 - Distributiva: relaciona a soma e o produto de forma que multiplicar uma soma por um número é o mesmo que multiplicar cada termo pelaquele número e depois somar.
 
Vamos precisar dessas propriedades básicas para comprovar cada uma delas para os números reais.
Passo 2
Associatividade da Soma
A associatividade da soma diz que a maneira como agrupamos os números na soma não altera o resultado. Ou seja, para quaisquer números reais 
 :
Vamos provar isso:
- Somamos 
e primeiro e depois somamos :  - De acordo com a associatividade, isso deve ser igual a somar 
e primeiro e depois somar :  - Como estamos assumindo que a associatividade vale nos números reais, confirmamos que:
 
Passo 3
Comutatividade da Soma
A comutatividade da soma afirma que a ordem dos números na soma não altera o resultado. Para quaisquer números reais 
  e 
 :
Vamos demonstrar isso:
- Somando 
e :  - Agora, somando 
e :  - Pela propriedade comutativa, sabemos que:
 
Passo 4
Elemento Neutro da Soma
O elemento neutro da soma é um número que, quando somado a qualquer número real, não muda esse número. No caso da soma, o elemento neutro é 
 . Ou seja, para qualquer número real 
 :
Vamos ver isso:
- Somando 
e :  - Pelo elemento neutro da soma, isso deve ser igual a 
:  
Passo 5
Existência de Oposto na Soma
Para cada número real 
 , existe um número real 
  que, quando somado a 
 , resulta no elemento neutro da soma, que é 
 . Ou seja:
Vamos comprovar:
- Somando 
e :  - Pelo princípio do oposto, isso deve ser igual a 
:  
Passo 6
Comutatividade do Produto
A comutatividade do produto diz que a ordem dos fatores na multiplicação não altera o resultado. Para quaisquer números reais 
  e 
 :
Vamos demonstrar:
- Multiplicando 
por :  - Agora, multiplicando 
por :  - Pela propriedade comutativa do produto, temos:
 
Passo 7
Elemento Neutro do Produto
O elemento neutro do produto é o número 
 . Quando multiplicamos qualquer número real por 
 , o número não muda. Ou seja, para qualquer número real 
 :
Vamos ver isso:
- Multiplicando 
por :  - Pelo elemento neutro do produto, isso é igual a 
:  
Passo 8
Existência de Inverso no Produto
Para cada número real 
  diferente de zero, existe um número real 
  (ou 
 ) que, quando multiplicado por 
 , resulta no elemento neutro do produto, que é 
 . Ou seja:
Vamos comprovar:
- 
Multiplicando
por :  - 
Pelo princípio do inverso multiplicativo, isso deve ser igual a
: Isso é válido desde que, pois zero não tem inverso multiplicativo.  
Passo 9
Propriedade Distributiva
A propriedade distributiva relaciona a multiplicação com a soma. A forma que vamos demonstrar aqui é:
Isso significa que se 
  é diferente de zero e 
  multiplicado por 
  é igual a 
  multiplicado por 
 , então 
  deve ser igual a 
 .
Vamos provar isso:
- 
Começamos com a igualdade:
 - 
Queremos isolar
e . Como , podemos multiplicar ambos os lados da equação pelo inverso de , que é :  - 
Aplicando a associatividade do produto:
 - 
Sabemos que
:  - 
E pelo elemento neutro do produto:Portanto, demonstramos que
é igual a quando e .  
Resposta
Demonstramos, passo a passo, que as propriedades de associatividade, comutatividade, elemento neutro, existência de oposto e inverso, além da propriedade distributiva no universo dos números reais, são verdadeiras utilizando apenas as propriedades básicas da soma e do produto.