Calcule a área da parte da superfície cilíndrica z^{2}+x^{2}=5 que se encontra dentro do cilindro x^{2}+y^{2} \leq 5 e acima do plano x y.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
A superfície cilíndrica onde devemos trabalhar é dada por x^{2}+z^{2}=5.
Devemos considerar apenas a parte dessa superfície que está dentro do cilindro x^{2}+y^{2}\leq 5.
Além disso, só interessa a parte que está acima do plano xy, ou seja, acima do plano z=0, ou seja, com z\ge 0.
O que o enunciado pede: calcular a área da parte da superfície x^{2}+z^{2}=5 sujeita às duas restrições acima (dentro de x^{2}+y^{2}\le5 e com z\ge0).
Passo 2
Escolher uma parametrização conveniente e determinar os limites do parâmetro.
A equação x^{2}+z^{2}=5 descreve um cilindro de raio \sqrt{5} cujo eixo é paralelo ao eixo y. Uma parametrização natural usa um ângulo \theta para a circunferência em x-z e usa y como segundo parâmetro. Defino
Aqui \theta percorre a circunferência e y varia ao longo do eixo do cilindro. Explico: \sqrt{5}\cos\theta e \sqrt{5}\sin\theta satisfazem x^{2}+z^{2}=5 para todo \theta.
Limites em \theta devido a z\ge 0: como z=\sqrt{5}\sin\theta, a condição z\ge 0 implica \sin\theta\ge 0, isto é, \theta\in[0,\pi].
Limites em y devido a x^{2}+y^{2}\le 5: para um \theta fixo temos x=\sqrt{5}\cos\theta, então y deve satisfazer
Lembrar a fórmula para área de uma superfície parametrizada e calcular o elemento de área.
Regra: se \mathbf{r}(u,v) é uma parametrização da superfície, o elemento de área é \lVert \mathbf{r}_u\times\mathbf{r}_v\rVert\,du\,dv, onde \mathbf{r}_u e \mathbf{r}_v são derivadas parciais.
Concluir com o valor numérico e interpretação final.
Portanto a área pedida é
A=20.
É a área da porção do cilindro x^{2}+z^{2}=5 que está dentro do cilindro x^{2}+y^{2}\le 5 e com z\ge 0. Bom trabalho — é uma integral dupla bem direta depois de escolher a parametrização certa!