Calcule a área da parte da superfície cilíndrica z^{2}+x^{2}=5 que se encontra dentro do cilindro x^{2}+y^{2} \leq 5 e acima do plano x y.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • A superfície cilíndrica onde devemos trabalhar é dada por x^{2}+z^{2}=5.
  • Devemos considerar apenas a parte dessa superfície que está dentro do cilindro x^{2}+y^{2}\leq 5.
  • Além disso, só interessa a parte que está acima do plano xy, ou seja, acima do plano z=0, ou seja, com z\ge 0.
  • O que o enunciado pede: calcular a área da parte da superfície x^{2}+z^{2}=5 sujeita às duas restrições acima (dentro de x^{2}+y^{2}\le5 e com z\ge0).

Passo 2

Escolher uma parametrização conveniente e determinar os limites do parâmetro.
  • A equação x^{2}+z^{2}=5 descreve um cilindro de raio \sqrt{5} cujo eixo é paralelo ao eixo y. Uma parametrização natural usa um ângulo \theta para a circunferência em x- z e usa y como segundo parâmetro. Defino
\mathbf{r}(\theta,y)=\big(\sqrt{5}\cos\theta,\; y,\; \sqrt{5}\sin\theta\big).
Aqui \theta percorre a circunferência e y varia ao longo do eixo do cilindro. Explico: \sqrt{5}\cos\theta e \sqrt{5}\sin\theta satisfazem x^{2}+z^{2}=5 para todo \theta.
  • Limites em \theta devido a z\ge 0: como z=\sqrt{5}\sin\theta, a condição z\ge 0 implica \sin\theta\ge 0, isto é, \theta\in[0,\pi].
  • Limites em y devido a x^{2}+y^{2}\le 5: para um \theta fixo temos x=\sqrt{5}\cos\theta, então y deve satisfazer
y^{2}\le 5 - x^{2}=5 - \big(\sqrt{5}\cos\theta\big)^{2}=5\big(1-\cos^{2}\theta\big)=5\sin^{2}\theta.
Portanto, para cada \theta\in[0,\pi],
y\in\big[-\sqrt{5}\sin\theta,\; \sqrt{5}\sin\theta\big].

Passo 3

Lembrar a fórmula para área de uma superfície parametrizada e calcular o elemento de área.
  • Regra: se \mathbf{r}(u,v) é uma parametrização da superfície, o elemento de área é \lVert \mathbf{r}_u\times\mathbf{r}_v\rVert\,du\,dv, onde \mathbf{r}_u e \mathbf{r}_v são derivadas parciais.
  • Aqui u=\theta e v=y. Calculo as derivadas:
\mathbf{r}_{\theta}(\theta,y)=\big(-\sqrt{5}\sin\theta,\;0,\;\sqrt{5}\cos\theta\big), \qquad \mathbf{r}_{y}(\theta,y)=\big(0,\;1,\;0\big).
  • Faço o produto vetorial \mathbf{r}_{\theta}\times\mathbf{r}_{y}. Posso calcular componente a componente (mostro o resultado e o módulo):
\mathbf{r}_{\theta}\times\mathbf{r}_{y} = \big(-\sqrt{5}\cos\theta,\;0,\;-\sqrt{5}\sin\theta\big).
O módulo é
\big\lVert \mathbf{r}_{\theta}\times\mathbf{r}_{y}\big\rVert = \sqrt{\big(-\sqrt{5}\cos\theta\big)^{2} + 0^{2} + \big(-\sqrt{5}\sin\theta\big)^{2}} = \sqrt{5\cos^{2}\theta + 5\sin^{2}\theta} = \sqrt{5}.
Observação didática: esse valor constante \sqrt{5} é o raio do cilindro; para um cilindro parametrizado por ângulo e eixo, o fator de área é o raio.

Passo 4

Escrever a integral dupla que dá a área e simplificar o integrando usando os limites encontrados.
  • A área A é
A=\int_{\theta=0}^{\pi}\int_{y=-\sqrt{5}\sin\theta}^{\sqrt{5}\sin\theta} \big\lVert \mathbf{r}_{\theta}\times\mathbf{r}_{y}\big\rVert\, dy\, d\theta =\int_{0}^{\pi}\int_{-\sqrt{5}\sin\theta}^{\sqrt{5}\sin\theta} \sqrt{5}\, dy\, d\theta.
  • Faço a integral em y primeiro. A largura em y para um \theta fixo é 2\sqrt{5}\sin\theta (aqui usei que \sin\theta\ge 0 em [0,\pi]). Assim
\int_{-\sqrt{5}\sin\theta}^{\sqrt{5}\sin\theta} \sqrt{5}\, dy = \sqrt{5}\cdot\big(2\sqrt{5}\sin\theta\big) =2\cdot 5\sin\theta =10\sin\theta.

Passo 5

Calcular a integral em \theta.
  • Agora
A=\int_{0}^{\pi} 10\sin\theta\, d\theta.
  • Integro passo a passo: a primitiva de \sin\theta é -\cos\theta. Então
A=10\big[-\cos\theta\big]_{0}^{\pi} =10\big(-\cos\pi + \cos 0\big) =10\big(-(-1) + 1\big) =10\big(1+1\big) =10\cdot 2.

Passo 6

Concluir com o valor numérico e interpretação final.
  • Portanto a área pedida é
A=20.
É a área da porção do cilindro x^{2}+z^{2}=5 que está dentro do cilindro x^{2}+y^{2}\le 5 e com z\ge 0. Bom trabalho — é uma integral dupla bem direta depois de escolher a parametrização certa!

Resposta

20

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