Parametrize as superfícies dadas pelos conjuntos:
.
Passo 1
O enunciado dá o conjunto
O que se pede: encontrar uma parametrização da superfície
, ou seja, uma aplicação
de um domínio em
que cubra exatamente os pontos de
. Vou listar as informações úteis fornecidas:
- A equação envolve apenas
e : . - Não há nenhuma condição sobre
no enunciado. - A tarefa é construir
tal que todo ponto da imagem satisfaça a equação dada e que toda solução da equação seja atingida por algum do domínio escolhido.
Passo 2
Interpretando a equação em
e
: reescrevo para ver formato de elipse. Divido os dois lados por
:
Isso mostra que, para cada
fixo, a seção em plano
é uma elipse com semi-eixos
Como a equação não restringe
, a superfície é uma cilindro elíptico: a mesma elipse “se estende” ao longo do eixo
.
Passo 3
Parametrização padrão da elipse: se
e
são os semi-eixos, uma parametrização da elipse é
porque
garante que a equação da elipse seja satisfeita. Aplicando isso ao nosso caso com
e
, tomo
como parâmetro angular da elipse e
como o parâmetro ao longo de
. Assim proponho
Passo 4
Verificação direta de que
realmente manda para
. Substituo
e
na equação:
Logo todo ponto
satisfaz
. E como
percorre
a parametrização percorre toda a elipse no plano
e
cobre todas as alturas
, a imagem de
é exatamente
.
Passo 5
Mostro que a parametrização é regular (útil para aplicações: superfície diferenciável sem “pontos degenerados”). Calculo as derivadas parciais:
O produto vetorial dá um vetor normal (não nulo):
A norma desse vetor é
que é sempre positiva (não podem simultaneamente
e
ser zero). Portanto
é regular para todo
.
Passo 6
Domínio e observações finais: escolha usual do domínio é
Essa parametrização é simples, suave e cobre toda a superfície. Alternativas equivalentes existem (por exemplo usando
e
trocados, ou deslocando
por uma constante), mas a apresentada é a mais direta.