Parametrize as superfícies dadas pelos conjuntos:
S=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3} / x^{2}+y^{2}=3 y\right\}.

Passo 1

O enunciado dá o conjunto
S=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3 \mid x^{2}+y^{2}=3y\}
e pede uma parametrização de S.
Informações importantes que o enunciado fornece:
  • A equação relaciona apenas x e y; z não aparece, portanto z é livre.
  • O conjunto é formado por todos os pontos em \mathbb{R}^3 cujas coordenadas x,y satisfazem x^{2}+y^{2}=3y.
O que precisamos produzir: uma função (parametrização) que, para cada par de parâmetros (u,v) (ou nomes parecidos), dá um ponto (x,y,z) em S, cobrindo toda a superfície.

Passo 2

Vamos manipular a equação em x e y para reconhecer a curva no plano xy. Começamos completando o quadrado em y.
Escrevemos
x^{2}+y^{2}=3y
como
x^{2}+y^{2}-3y=0.
Agora complete o quadrado em y:
x^{2}+\bigl(y^{2}-3y\bigr)=0
x^{2}+\Bigl(y^{2}-3y+\Bigl(\frac{3}{2}\Bigr)^{2}\Bigr)-\Bigl(\frac{3}{2}\Bigr)^{2}=0
x^{2}+\Bigl(y-\frac{3}{2}\Bigr)^{2}-\frac{9}{4}=0.
Rearranjando:
x^{2}+\Bigl(y-\frac{3}{2}\Bigr)^{2}=\frac{9}{4}.
Interpretação dessa equação no plano xy: é a equação de um círculo de centro \bigl(0,\tfrac{3}{2}\bigr) e raio \tfrac{3}{2}. Como a equação original não depende de z, a superfície S é o cilindro circular reto com esse círculo como geratriz, estendido em direção ao eixo z.

Passo 3

Como sabemos parametrizar um círculo de raio r no plano: para r>0, um círculo centrado em (a,b) pode ser escrito como
x=a+r\cos u,\qquad y=b+r\sin u,
com u\in[0,2\pi).
No nosso caso a=0, b=\tfrac{3}{2} e r=\tfrac{3}{2}. Portanto uma parametrização do círculo geratriz (fixando z) é
x=\frac{3}{2}\cos u,\qquad y=\frac{3}{2}+\frac{3}{2}\sin u,
com u\in[0,2\pi).

Passo 4

Para obter a parametrização da superfície (o cilindro), basta permitir que z varie livremente: introduzimos um parâmetro v\in\mathbb{R} e fazemos z=v. Assim obtemos uma parametrização da superfície por dois parâmetros (u,v).
Verificação rápida (para ver que a parametrização realmente faz parte de S): com x=\tfrac{3}{2}\cos u e y=\tfrac{3}{2}+\tfrac{3}{2}\sin u=\tfrac{3}{2}(1+\sin u),
calcula-se
x^{2}+y^{2}=\left(\tfrac{3}{2}\right)^{2}\cos^{2}u+\left(\tfrac{3}{2}\right)^{2}(1+\sin u)^{2} =\left(\tfrac{3}{2}\right)^{2}\bigl(\cos^{2}u+1+2\sin u+\sin^{2}u\bigr)
=\left(\tfrac{3}{2}\right)^{2}\bigl(2+2\sin u\bigr) =2\left(\tfrac{3}{2}\right)^{2}(1+\sin u).
Como 3y=3\cdot\tfrac{3}{2}(1+\sin u)=\; \,3\cdot\tfrac{3}{2}(1+\sin u), e 2\left(\tfrac{3}{2}\right)^{2}=3\cdot\tfrac{3}{2} (pois 2\cdot\frac{9}{4}=\frac{9}{2}=\frac{27}{6}= \frac{9}{2} e 3\cdot\frac{3}{2}=\frac{9}{2}), obtém-se x^{2}+y^{2}=3y, logo os pontos parametrizados pertencem a S.

Passo 5

Escrevendo a parametrização numa forma vetorial conveniente, com u\in[0,2\pi) e v\in\mathbb{R}, temos
\mathbf{r}(u,v)=\Bigl(\frac{3}{2}\cos u,\\ \frac{3}{2}+\frac{3}{2}\sin u,\\ v\Bigr).
Essa parametrização percorre todo o cilindro definido por x^{2}+(y-\tfrac{3}{2})^{2}=(\tfrac{3}{2})^{2} para todas as alturas z=v.

Resposta

\mathbf{r}(u,v)=\displaystyle\left(\frac{3}{2}\cos u,\\ \frac{3}{2}+\frac{3}{2}\sin u,\\ v\right),\quad u\in[0,2\pi),\\ v\in\mathbb{R}

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