Parametrize as superfícies dadas pelos conjuntos:
.
Passo 1
O enunciado dá o conjunto
e pede uma parametrização de
.
Informações importantes que o enunciado fornece:
- A equação relaciona apenas
e ; não aparece, portanto é livre. - O conjunto é formado por todos os pontos em
cujas coordenadas satisfazem .
O que precisamos produzir: uma função (parametrização) que, para cada par de parâmetros
(ou nomes parecidos), dá um ponto
em
, cobrindo toda a superfície.
Passo 2
Vamos manipular a equação em
e
para reconhecer a curva no plano
. Começamos completando o quadrado em
.
Escrevemos
como
Agora complete o quadrado em
:
Rearranjando:
Interpretação dessa equação no plano
: é a equação de um círculo de centro
e raio
. Como a equação original não depende de
, a superfície
é o cilindro circular reto com esse círculo como geratriz, estendido em direção ao eixo
.
Passo 3
Como sabemos parametrizar um círculo de raio
no plano: para
, um círculo centrado em
pode ser escrito como
com
.
No nosso caso
,
e
. Portanto uma parametrização do círculo geratriz (fixando
) é
com
.
Passo 4
Para obter a parametrização da superfície (o cilindro), basta permitir que
varie livremente: introduzimos um parâmetro
e fazemos
. Assim obtemos uma parametrização da superfície por dois parâmetros
.
Verificação rápida (para ver que a parametrização realmente faz parte de
): com
e
,
calcula-se
calcula-se
Como
, e
(pois
e
), obtém-se
, logo os pontos parametrizados pertencem a
.
Passo 5
Escrevendo a parametrização numa forma vetorial conveniente, com
e
, temos
Essa parametrização percorre todo o cilindro definido por
para todas as alturas
.