Seja k \in \mathbb{Z}. Calcule a integral
\int_{0}^{2 \pi} e^{i k t} d t

Passo 1

O enunciado dá:
  • k\in\mathbb{Z}.
  • A integral a calcular é
\int_{0}^{2\pi} e^{i k t}\,dt.
O que se pede: encontrar o valor numérico dessa integral em função de k. Não se resolve nada neste passo, apenas listei o dado e a pergunta.

Passo 2

Primeiro caso: k=0.
Se k=0 então e^{i k t}=e^{i\cdot 0\cdot t}=e^{0}=1 para todo t. Portanto a integral fica a integral de 1 em [0,2\pi]. Calcule:
\int_{0}^{2\pi} 1\,dt = \bigl[t\bigr]_{0}^{2\pi} = 2\pi.
Assim, para k=0 o valor da integral é 2\pi.

Passo 3

Segundo caso: k\neq 0.
Para integrar e^{i k t} em t, usamos que a derivada de e^{i k t} em relação a t é i k e^{i k t}. Isso implica que uma primitiva (antiderivada) é
\frac{1}{i k}\,e^{i k t},
pois derivando \dfrac{1}{i k}e^{i k t} obtemos e^{i k t}.

Passo 4

Aplicando o Teorema Fundamental do Cálculo para a primitiva encontrada, avaliamos a integral definida:
\int_{0}^{2\pi} e^{i k t}\,dt = \left.\frac{1}{i k}e^{i k t}\right|_{0}^{2\pi} = \frac{1}{i k}\bigl(e^{i k\cdot 2\pi}-e^{i k\cdot 0}\bigr) = \frac{1}{i k}\bigl(e^{i k 2\pi}-1\bigr).

Passo 5

Usamos agora que k é inteiro. Vale
e^{i k 2\pi}=\bigl(e^{i 2\pi}\bigr)^{k}=1^{k}=1,
porque e^{i2\pi}=1. Substituindo em \dfrac{1}{i k}\bigl(e^{i k 2\pi}-1\bigr) obtemos 0. Portanto, para todo k\in\mathbb{Z} com k\neq 0,
\int_{0}^{2\pi} e^{i k t}\,dt = 0.

Passo 6

Interpretação rápida (intuitiva): para k\neq 0 a função e^{i k t} é uma oscilação complexa com média zero ao longo de um período inteiro [0,2\pi]; por isso a integral (a “média total”) é nula. Para k=0 não há oscilação e a integral é simplesmente a medida do intervalo, 2\pi.

Resposta

Se k=0:\; 2\pi
Se k\neq 0:\; 0

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