Calcule a área da parte da superfície do cone x^2-y^2=z^2 situada no primeiro octante e limitada pelo plano y+z=a(a>0)(R: a^2raiz2)

Passo 1

O enunciado pede para calcular a área da parte do cone x^2 - y^2 = z^2 que está no primeiro octante ( x, y, z ≥ 0) e limitada pelo plano y + z = a. O tema aqui é área de superfície por parametrização: vamos precisar parametrizar a superfície e usar a fórmula A = integral duplaD llVert ru times rvrrVert ,du,dv

Passo 2

Primeiro reconhecemos que a equação x^2 - y^2 = z^2 pode ser escrita como x^2 = y^2 + z^2, ou seja, é um cone circular reto com eixo no eixo x. No primeiro octante temos x=raizy^2+z^2. Então uma parametrização natural é r(y,z)=l(raizy^2+z^2,,y,,zr),com (y,z) variando num domínio D que vamos determinar.

Passo 3

Para aplicar a fórmula de área, calculamos as derivadas parciais:
ry = l(yraizy^2+z^2,,1,,0r), rz = l(zraizy^2+z^2,,0,,1r)

Passo 4

Em seguida encontramos o módulo do produto vetorial:
ry times rz = (1, -tfracyraizy^2+z^2, -tfraczraizy^2+z^2),
llVert ry times rzrrVert = raiz1+y^2y^2+z^2+z^2y^2+z^2 = raiz2

Passo 5

O domínio D em (y,z) é o triângulo no primeiro quadrante limitado por y=0, z=0 e a reta y+z=a. Ele tem área

Passo 6

Por fim, a área da superfície é
A = integral duplaD raiz2,dy,dz = raiz2;Area(D) = raiz2cdota^22 = a^2raiz2

Resposta

A área da parte do cone vale a^2raiz2.

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