Seja L: R^+ R uma função logarítmica. Considere as afirmativas abaixo:
i. Para todo x>0, vale que L(1x)=-L(x).
ii. L(1)=0.
iii. L(x+y)=L(x) cdot L(y), para quaisquer x, y reais positivos.
Assinale a alternativa que indica todas as afirmativas corretas: São corretas apenas as afirmativas (i) e (ii).

Passo 1

O enunciado diz que L é uma função logarítmica em
R^+, ou seja, satisfaz as propriedades básicas de logaritmo, em particular
L(xy)=L(x)+L(y) e, mais geral, L(x^k)=k,L(x).

Passo 2

Usando a propriedade de potência L(x^k)=k,L(x):
Para k=-1 temos
Ll(x^-1r)=(-1),L(x)=-L(x)
que prova a afirmativa (i).
Para k=0 temos
Ll(x^0r)=0,L(x)=0
isto é, L(1)=0, provando a afirmativa (ii).

Passo 3

A afirmativa (iii) diz que L(x+y)=L(x)cdot L(y), mas essa não é uma propriedade de logaritmos (a soma dentro do argumento não se transforma em produto de logaritmos). Por exemplo, se L=log10, tomando x=2 e y=3 temos L(5)neq L(2)cdot L(3). Logo, (iii) é falsa.

Resposta

Apenas as afirmativas (i) e (ii) são corretas.

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