Calcule a integral a seguir, colocando-a primeiro em coordenadas esféricas.
\int_{0}^{3} \int_{0}^{\sqrt{9-x^{2}}} \int_{0}^{\sqrt{9-x^{2}-y^{2}}} z\left(x^{2}+y^{2}\right) d z d y d x

Passo 1

O enunciado fornece a integral
\int_{0}^{3} \int_{0}^{\sqrt{9-x^{2}}} \int_{0}^{\sqrt{9-x^{2}-y^{2}}} z\left(x^{2}+y^{2}\right)\, d z\, d y\, d x.
Pergunta: calcular essa integral, colocando-a primeiro em coordenadas esféricas e, em seguida, avaliando-a. Informações relevantes dadas:
  • As variáveis têm limites x\in[0,3], y\in\bigl[0,\sqrt{9-x^{2}}\bigr], z\in\bigl[0,\sqrt{9-x^{2}-y^{2}}\bigr].
  • O integrando é z(x^{2}+y^{2}).
  • Observação geométrica útil (apenas listando informações): os limites descrevem pontos com x\ge0, y\ge0, z\ge0 e x^{2}+y^{2}+z^{2}\le 9 (ou seja, a porção do interior da esfera de raio 3 no primeiro octante).

Passo 2

Vamos mudar para coordenadas esféricas. Primeiro, apresento as fórmulas e o jacobiano explicando cada símbolo:
  • Em coordenadas esféricas usamos \rho (distância ao origem), \varphi (ângulo entre o raio e o eixo z, medido a partir do eixo z) e \theta (ângulo no plano xy a partir do eixo x). As relações são
x=\rho\sin\varphi\cos\theta,
y=\rho\sin\varphi\sin\theta,
z=\rho\cos\varphi.
  • O fator de mudança de variável (jacobiano) para o elemento de volume é
dV=\rho^{2}\sin\varphi\, d\rho\, d\varphi\, d\theta.
Agora os limites: como x\ge0 e y\ge0, o ângulo \theta varre de 0 até \pi/2. Como z\ge0, temos \varphi entre 0 e \pi/2. A esfera de raio 3 \rho entre 0 e 3. Logo os limites esféricos serão
0\le \theta \le \tfrac{\pi}{2},\quad 0\le \varphi \le \tfrac{\pi}{2},\quad 0\le \rho \le 3.

Passo 3

Substituímos o integrando e multiplicamos pelo jacobiano, explicando cada passo:
  • Primeiro, x^{2}+y^{2} em esféricas: como x=\rho\sin\varphi\cos\theta e y=\rho\sin\varphi\sin\theta,
x^{2}+y^{2}=\rho^{2}\sin^{2}\varphi\bigl(\cos^{2}\theta+\sin^{2}\theta\bigr)=\rho^{2}\sin^{2}\varphi.
  • Também z=\rho\cos\varphi.
  • Então o produto do integrando pela medida é
z(x^{2}+y^{2})\, dV = \bigl(\rho\cos\varphi\bigr)\bigl(\rho^{2}\sin^{2}\varphi\bigr)\bigl(\rho^{2}\sin\varphi\, d\rho\, d\varphi\, d\theta\bigr).
  • Agrupando potências de \rho e funções de \varphi,
z(x^{2}+y^{2})\, dV = \rho^{5}\cos\varphi\sin^{3}\varphi\, d\rho\, d\varphi\, d\theta.
Portanto a integral em coordenadas esféricas é
\int_{0}^{\tfrac{\pi}{2}}\int_{0}^{\tfrac{\pi}{2}}\int_{0}^{3} \rho^{5}\cos\varphi\sin^{3}\varphi\, d\rho\, d\varphi\, d\theta.

Passo 4

A integral separa-se em fatores porque a integranda é produto de funções de \rho, \varphi e \theta isoladas:
\int_{0}^{\tfrac{\pi}{2}}\int_{0}^{\tfrac{\pi}{2}}\int_{0}^{3} \rho^{5}\cos\varphi\sin^{3}\varphi\, d\rho\, d\varphi\, d\theta = \left(\int_{0}^{3}\rho^{5}\, d\rho\right)\left(\int_{0}^{\tfrac{\pi}{2}}\cos\varphi\sin^{3}\varphi\, d\varphi\right)\left(\int_{0}^{\tfrac{\pi}{2}} d\theta\right).
Calculo do fator \rho:
\int_{0}^{3}\rho^{5}\, d\rho = \left.\frac{\rho^{6}}{6}\right|_{0}^{3} = \frac{3^{6}}{6} = \frac{729}{6} = \frac{243}{2}.
Expliquei: integramos uma potência \rho^{n} usando \int \rho^{n}d\rho=\rho^{n+1}/(n+1).

Passo 5

Calculo do fator envolvendo \varphi. Faço uma substituição simples:
  • Tome u=\sin\varphi. Então du=\cos\varphi\, d\varphi.
  • Quando \varphi=0 temos u=0. Quando \varphi=\tfrac{\pi}{2} temos u=1.
  • Assim
\int_{0}^{\tfrac{\pi}{2}}\cos\varphi\sin^{3}\varphi\, d\varphi = \int_{0}^{1} u^{3}\, du = \left.\frac{u^{4}}{4}\right|_{0}^{1} = \frac{1}{4}.
Expliquei: a substituição reduz a integral de funções trigonométricas a uma integral polinomial simples.

Passo 6

Calculo do fator \theta e multiplicação final:
\int_{0}^{\tfrac{\pi}{2}} d\theta = \frac{\pi}{2}.
Multiplicando os três fatores:
\frac{243}{2}\cdot \frac{1}{4}\cdot \frac{\pi}{2} = \frac{243\pi}{16}.
Fiz a simplificação passo a passo: \frac{243}{2}\times\frac{1}{4}=\frac{243}{8} e \frac{243}{8}\times\frac{\pi}{2}=\frac{243\pi}{16}.

Resposta

\dfrac{243\pi}{16}

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