Calcule a integral a seguir, colocando-a primeiro em coordenadas esféricas.
\int_{0}^{3} \int_{0}^{\sqrt{9-x^{2}}} \int_{0}^{\sqrt{9-x^{2}-y^{2}}} z\left(x^{2}+y^{2}\right) d z d y d x
Passo 1
O enunciado fornece a integral
\int_{0}^{3} \int_{0}^{\sqrt{9-x^{2}}} \int_{0}^{\sqrt{9-x^{2}-y^{2}}} z\left(x^{2}+y^{2}\right)\, d z\, d y\, d x.
Pergunta: calcular essa integral, colocando-a primeiro em coordenadas esféricas e, em seguida, avaliando-a. Informações relevantes dadas:
As variáveis têm limites x\in[0,3], y\in\bigl[0,\sqrt{9-x^{2}}\bigr], z\in\bigl[0,\sqrt{9-x^{2}-y^{2}}\bigr].
O integrando é z(x^{2}+y^{2}).
Observação geométrica útil (apenas listando informações): os limites descrevem pontos com x\ge0, y\ge0, z\ge0 e x^{2}+y^{2}+z^{2}\le 9 (ou seja, a porção do interior da esfera de raio 3 no primeiro octante).
Passo 2
Vamos mudar para coordenadas esféricas. Primeiro, apresento as fórmulas e o jacobiano explicando cada símbolo:
Em coordenadas esféricas usamos \rho (distância ao origem), \varphi (ângulo entre o raio e o eixo z, medido a partir do eixo z) e \theta (ângulo no plano xy a partir do eixo x). As relações são
x=\rho\sin\varphi\cos\theta,
y=\rho\sin\varphi\sin\theta,
z=\rho\cos\varphi.
O fator de mudança de variável (jacobiano) para o elemento de volume é
Agora os limites: como x\ge0 e y\ge0, o ângulo \theta varre de 0 até \pi/2. Como z\ge0, temos \varphi entre 0 e \pi/2. A esfera de raio 3 dá \rho entre 0 e 3. Logo os limites esféricos serão