Calcule a área, no plano cartesiano, dos seguintes polígonos:
triângulo de vértices \mathrm{A}(1,1), \mathrm{B}(6,1) e \mathrm{C}(3,6).

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular a área, no plano cartesiano, do triângulo de vértices \mathrm{A}(1,1), \mathrm{B}(6,1) e \mathrm{C}(3,6).
Informações dadas (extraídas diretamente do enunciado):
\mathrm{A} = (1,1),\qquad \mathrm{B} = (6,1),\qquad \mathrm{C} = (3,6).

Passo 2

Observação útil sobre a posição dos pontos (isso simplifica bastante): os pontos \mathrm{A} e \mathrm{B} têm a mesma coordenada y (ambos têm y=1). Isso significa que o segmento \overline{AB} é horizontal e sua equação está em uma reta do tipo y= constante, aqui y=1. Quando um lado do triângulo é horizontal, ele serve muito bem como base para calcular a área usando a fórmula base × altura / 2.

Passo 3

Calcular o comprimento da base b escolhida como \overline{AB}.
Como A e B têm a mesma ordenada y, a distância entre eles é a diferença assintótica das abscissas:
b = \text{comprimento de } \overline{AB} = |x_B - x_A| = |6 - 1| = 5.
Explicando a fórmula usada: quando dois pontos têm a mesma y, a distância é simplesmente a diferença entre as x. Aqui x_A e x_B são as abscissas de A e B.

Passo 4

Calcular a altura h relativa à base \overline{AB}.
A altura é a distância perpendicular do vértice oposto C até a reta que contém AB. Como a reta que contém AB é y=1, a distância vertical de C(3,6) até essa reta é simplesmente a diferença entre a ordenada de C e 1:
h = |y_C - 1| = |6 - 1| = 5.
Explicando: para uma reta horizontal y=k, a distância perpendicular de um ponto (x_0,y_0) até essa reta é |y_0-k|.

Passo 5

Aplicar a fórmula da área de um triângulo a partir da base e da altura:
\text{área} = \frac{\text{base}\times\text{altura}}{2}.á
Aqui \text{base}=b e \text{altura}=h. Substituindo os valores encontrados:
\text{área} = \frac{b\cdot h}{2} = \frac{5\cdot 5}{2} = \frac{25}{2}.á
Se quiser em forma decimal (uso a vírgula como separador decimal): \,12,5.

Passo 6

Verificação alternativa (checada para você se sentir mais seguro): usar a fórmula do determinante (fórmula de Gauss / “shoelace”) para área de triângulo com vértices (x_1,y_1),(x_2,y_2),(x_3,y_3):
\text{área}=\frac{1}{2}\left|x_1(y_2-y_3)+x_2(y_3-y_1)+x_3(y_1-y_2)\right|.á
Substituindo (x_1,y_1)=(1,1), (x_2,y_2)=(6,1), (x_3,y_3)=(3,6):
\begin{aligned} \text{área} &= \frac{1}{2}\left|1(1-6)+6(6-1)+3(1-1)\right|\\\ &= \frac{1}{2}\left|(1\cdot(-5)) + (6\cdot5) + (3\cdot0)\right|\\\ &= \frac{1}{2}\left| -5 + 30 + 0\right| = \frac{1}{2}\cdot 25 = \frac{25}{2}, \end{aligned}á
mesmo resultado. Bom sinal: dá pra confiar.

Resposta

\dfrac{25}{2} = 12,5

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