Considerando-se o ponto
e circunferência cuja equação é
, determine a distância entre os pontos
e
, sendo
o ponto de tangência entre a circunferência e a reta que passa pelo ponto A .
(Dica: faça um esboço e use a relação entre os segmentos no triângulo formado pelo centro, por A e pelo ponto)
(Dica: faça um esboço e use a relação entre os segmentos no triângulo formado pelo centro, por A e pelo ponto)
Passo 1
O enunciado pede a distância entre o ponto
e o ponto
, onde
é o ponto de tangência entre a circunferência de equação
e a reta tangente que passa por
.
Informações dadas:
Informações dadas:
A tarefa é calcular o comprimento do segmento
.
Passo 2
Vamos encontrar o centro
e o raio
da circunferência completando os quadrados. Partimos de
Agrupando e completando quadrados:
Portanto,
Isto mostra que o centro e o raio são
Passo 3
Agora calculamos a distância entre
e
, ou seja
. A fórmula da distância entre dois pontos
e
é
Aplicando a
e
:
Para manipular melhor, note que
Passo 4
Explicação geométrica essencial (a “dica” do enunciado): a reta tangente à circunferência num ponto de tangência é perpendicular ao raio que vai do centro até esse ponto. Portanto, no triângulo formado por
,
e
temos um triângulo retângulo com ângulo reto em
. Assim vale o Teorema de Pitágoras no triângulo
:
Aqui
e
já calculamos. Essa é a relação que nos dá
.
Passo 5
Usando a relação do passo anterior:
Substituindo
e
,
Logo
(Como verificação conceitual: uma abordagem alternativa é usar o “teorema da potência de um ponto” que dá a mesma fórmula
; escolhemos a abordagem do triângulo retângulo porque é direta e fácil de aplicar na prova.)