Considerando-se o ponto A(3,4) e circunferência cuja equação é x^{2}+y^{2}-2 x+4 y-4=0, determine a distância entre os pontos A e T, sendo T o ponto de tangência entre a circunferência e a reta que passa pelo ponto A .
(Dica: faça um esboço e use a relação entre os segmentos no triângulo formado pelo centro, por A e pelo ponto)

Passo 1

O enunciado pede a distância entre o ponto A(3,4) e o ponto T, onde T é o ponto de tangência entre a circunferência de equação
x^{2}+y^{2}-2x+4y-4=0
e a reta tangente que passa por A.
Informações dadas:
A(3,4)
\text{circunferência: }x^{2}+y^{2}-2x+4y-4=0ê
A tarefa é calcular o comprimento do segmento AT.

Passo 2

Vamos encontrar o centro O e o raio r da circunferência completando os quadrados. Partimos de
x^{2}+y^{2}-2x+4y-4=0.
Agrupando e completando quadrados:
(x^{2}-2x+1)+(y^{2}+4y+4)-1-4-4=0.
Portanto,
(x-1)^{2}+(y+2)^{2}-9=0.
Isto mostra que o centro e o raio são
O(1,-2),\qquad r^{2}=9\Rightarrow r=3.

Passo 3

Agora calculamos a distância entre O e A, ou seja OA. A fórmula da distância entre dois pontos (x_1,y_1) e (x_2,y_2) é
\text{dist}=\sqrt{(x_2-x_1)^{2}+(y_2-y_1)^{2}}.
Aplicando a O(1,-2) e A(3,4):
OA=\sqrt{(3-1)^{2}+(4-(-2))^{2}}=\sqrt{2^{2}+6^{2}}=\sqrt{4+36}=\sqrt{40}.
Para manipular melhor, note que
OA^{2}=40.

Passo 4

Explicação geométrica essencial (a “dica” do enunciado): a reta tangente à circunferência num ponto de tangência é perpendicular ao raio que vai do centro até esse ponto. Portanto, no triângulo formado por O, T e A temos um triângulo retângulo com ângulo reto em T. Assim vale o Teorema de Pitágoras no triângulo OAT:
OA^{2}=OT^{2}+AT^{2}.
Aqui OT=r e OA já calculamos. Essa é a relação que nos dá AT.

Passo 5

Usando a relação do passo anterior:
AT^{2}=OA^{2}-OT^{2}.
Substituindo OA^{2}=40 e OT^{2}=r^{2}=9,
AT^{2}=40-9=31.
Logo
AT=\sqrt{31}.
(Como verificação conceitual: uma abordagem alternativa é usar o “teorema da potência de um ponto” que dá a mesma fórmula AT^{2}=AO^{2}-r^{2}; escolhemos a abordagem do triângulo retângulo porque é direta e fácil de aplicar na prova.)

Resposta

\sqrt{31}

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