Calcule a área da porção da calha y=6-x^{2} que está situada no primeiro octante, abaixo do plano z=x.

Passo 1

O enunciado pede a área da porção da superfície definida por
y = 6 - x^2
que está no primeiro octante x\ge0, y\ge0, z\ge0 e fica abaixo do plano
z = x.
O conteúdo usado é o de área de superfície em cálculo vetorial: vamos parametrizar essa “cortina” e usar
\text{Área} = \iint |\mathbf r_x \times \mathbf r_z|\,dx\,dz.Á

Passo 2

Parametrizamos a superfície por
\mathbf r(x,z) = \bigl(x,\;6 - x^2,\;z\bigr),
onde as variáveis livres são x e z.

Passo 3

Calculamos os vetores parciais
\mathbf r_x = (1, -2x, 0), \quad \mathbf r_z = (0, 0, 1)
e o produto vetorial
\mathbf r_x \times \mathbf r_z = (-2x,\,-1,\,0).
O módulo é
\bigl|\mathbf r_x \times \mathbf r_z\bigr| =\sqrt{(-2x)^2 + (-1)^2} =\sqrt{4x^2 + 1}.

Passo 4

A região no plano (x,z) vem de
y=6-x^2 \ge 0\implies 0\le x\le \sqrt{6}, \quad 0\le z\le x
(pois estamos abaixo de z=x e acima de z=0).
Assim a área é
\int_{x=0}^{\sqrt6}\!\int_{z=0}^{x} \sqrt{4x^2 +1}\,dz\,dx =\int_{0}^{\sqrt6} \Bigl(\int_{0}^{x}dz\Bigr)\sqrt{4x^2+1}\,dx =\int_{0}^{\sqrt6}x\sqrt{4x^2+1}\,dx.

Passo 5

Para calcular
\int_{0}^{\sqrt6}x\sqrt{4x^2+1}\,dx
fazemos a substituição u=4x^2+1, du=8x\,dx, logo x\,dx=du/8.
Os limites vão de u(0)=1 até u(\sqrt6)=4\cdot6+1=25.
Então
\int_{0}^{\sqrt6}x\sqrt{4x^2+1}\,dx =\frac{1}{8}\int_{1}^{25}\sqrt{u}\,du =\frac{1}{8}\cdot\frac{2}{3}\bigl[u^{3/2}\bigr]_{1}^{25} =\frac{1}{12}\bigl(25^{3/2}-1^{3/2}\bigr) =\frac{1}{12}(125-1) =\frac{124}{12} =\frac{31}{3}.

Resposta

A área solicitada é \displaystyle \frac{31}{3}.

Exercícios relacionados