Calcule a área da porção do cilindro y=\sqrt{4-x^{2}} situada acima do plano z=0 e abaixo da superfície z=x^{2}+y.

Passo 1

O enunciado pede a área da superfície cilíndrica dada por y = \sqrt{4 - x^2} limitada verticalmente entre o plano \,z=0 e a superfície \,z = x^2 + y.
O conteúdo é cálculo de área de superfície via integral de superfície e vamos parametrizar o cilindro e usar o módulo do produto vetorial dos vetores tangentes.

Passo 2

Parametrizamos a superfície pelo par de variáveis (x,z), pois em toda a porção vale y=\sqrt{4-x^2}. Definimos
\mathbf r(x,z) = \bigl(x,\;\sqrt{4-x^2},\;z\bigr),
com domínio
-2 \le x \le 2, \quad 0 \le z \le x^2 + \sqrt{4-x^2}.

Passo 3

Calculamos os vetores parciais
\mathbf r_x = \bigl(1,\;-\tfrac{x}{\sqrt{4-x^2}},\;0\bigr), \quad \mathbf r_z = (0,0,1).
O produto vetorial tem magnitude
\bigl\|\mathbf r_x \times \mathbf r_z\bigr\| = \sqrt{1 + \frac{x^2}{4-x^2}} = \frac{2}{\sqrt{4-x^2}}.

Passo 4

A área da superfície é
A = \iint_{\text{dom}} \bigl\|\mathbf r_x \times \mathbf r_z\bigr\| \,dA = \int_{x=-2}^{2} \int_{z=0}^{x^2 + \sqrt{4-x^2}} \frac{2}{\sqrt{4-x^2}} \,dz\,dx.
Integramos primeiro em z:
A = \int_{-2}^{2} \frac{2}{\sqrt{4-x^2}} \bigl(x^2 + \sqrt{4-x^2}\bigr) \,dx = 2\int_{-2}^{2}\frac{x^2}{\sqrt{4-x^2}}\,dx \;+\;2\int_{-2}^{2}1\,dx.

Passo 5

Calcular as duas integrais separadamente:
  1. \displaystyle \int_{-2}^{2}1\,dx = 4. 2. \displaystyle \int_{-2}^{2}\frac{x^2}{\sqrt{4-x^2}}\,dx é uma função par, logo
\int_{-2}^{2}\frac{x^2}{\sqrt{4-x^2}}\,dx = 2\int_{0}^{2}\frac{x^2}{\sqrt{4-x^2}}\,dx.
Fazendo a substituição x=2\sin t, dx=2\cos t\,dt, de t=0 a t=\tfrac\pi2,
\int_{0}^{2}\frac{x^2}{\sqrt{4-x^2}}\,dx = \int_{0}^{\pi/2} \frac{4\sin^2 t}{2\cos t}\,(2\cos t\,dt) = 4\int_{0}^{\pi/2}\sin^2 t\,dt = 4\cdot\frac{\pi}{4} = \pi.
Portanto
\int_{-2}^{2}\frac{x^2}{\sqrt{4-x^2}}\,dx = 2\pi.

Passo 6

Substituindo em A:
A = 2\bigl(2\pi\bigr) + 2\bigl(4\bigr) = 4\pi + 8.

Resposta

A = 4\pi + 8.

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