Determine a área da porção da superfície cilindrica
, situada no primeiro octante e abaixo da superfície
.
Passo 1
O enunciado pede a área da parte da superfície cilíndrica
que está no primeiro octante
,
,
e fica abaixo da superfície
.
O conteúdo é cálculo de área de superfície cilíndrica extrudida: se uma curva no plano
é geratriz de um cilindro independente de
, então a área entre
e
é
O conteúdo é cálculo de área de superfície cilíndrica extrudida: se uma curva
onde
é o elemento de comprimento ao longo de
.
Passo 2
Aqui a curva
é a interseção de
com o primeiro quadrante. Em cada ponto
a “altura” do cilindro é
. Logo
Passo 3
Parametrizamos a elipse
por
Então
Passo 4
O elemento de arco é
Logo a área fica
Passo 5
Use a substituição
quando
vai de
a
,
vai de
a
. O integrando torna-se
Assim
Passo 6
Calcule o integral:
Multiplicando por
dá