Determine a área da porção da superfície cilindrica 2 x^{2}+3 y^{2}=6, situada no primeiro octante e abaixo da superfície z=2 x y.

Passo 1

O enunciado pede a área da parte da superfície cilíndrica
2x^2 + 3y^2 = 6
que está no primeiro octante x\ge0, y\ge0, z\ge0 e fica abaixo da superfície z=2xy.
O conteúdo é cálculo de área de superfície cilíndrica extrudida: se uma curva C no plano xy é geratriz de um cilindro independente de z, então a área entre z=0 e z=h(x,y) é
A \;=\;\int_{C} h(x,y)\,ds,
onde ds é o elemento de comprimento ao longo de C.

Passo 2

Aqui a curva C é a interseção de 2x^2+3y^2=6 com o primeiro quadrante. Em cada ponto (x,y)\in C a “altura” do cilindro é h(x,y)=2xy. Logo
A \;=\;\int_{C}2xy\,ds.

Passo 3

Parametrizamos a elipse
\frac{x^2}{3}+\frac{y^2}{2}=1
por
x=\sqrt{3}\cos t,\quad y=\sqrt{2}\sin t,\quad t\in[0,\tfrac\pi2].
Então
2x y =2\bigl(\sqrt{3}\cos t\bigr)\bigl(\sqrt{2}\sin t\bigr) =2\sqrt{6}\,\sin t\cos t.

Passo 4

O elemento de arco é
ds=\sqrt{\bigl(x'(t)\bigr)^2+\bigl(y'(t)\bigr)^2}\,dt =\sqrt{3\sin^2t+2\cos^2t}\;dt.
Logo a área fica
A =\int_{0}^{\pi/2}2xy\,ds =\int_{0}^{\pi/2}2\sqrt{6}\,\sin t\cos t \;\sqrt{3\sin^2t+2\cos^2t}\;dt.

Passo 5

Use a substituição
w=\sin^2t,\quad dw=2\sin t\cos t\,dt,
quando t vai de 0 a \pi/2, w vai de 0 a 1. O integrando torna-se
2\sqrt{6}\,\sin t\cos t\,\sqrt{3\sin^2t+2\cos^2t}\,dt =\sqrt{6}\,\sqrt{w+2}\;dw.
Assim
A =\sqrt{6}\int_{0}^{1}\sqrt{w+2}\;dw.

Passo 6

Calcule o integral:
\int_{0}^{1}\sqrt{w+2}\;dw =\frac{2}{3}\Bigl[(w+2)^{3/2}\Bigr]_{0}^{1} =\frac{2}{3}\bigl(3^{3/2}-2^{3/2}\bigr) =\frac{2}{3}\bigl(3\sqrt{3}-2\sqrt{2}\bigr).
Multiplicando por \sqrt{6}
A =\sqrt{6}\,\frac{2}{3}\!\bigl(3\sqrt{3}-2\sqrt{2}\bigr) =\frac{2\sqrt{6}}{3}(3\sqrt{3}-2\sqrt{2}) =\frac{18\sqrt{2}-8\sqrt{3}}{3}.

Resposta

\boxed{\frac{18\sqrt{2}-8\sqrt{3}}{3}}

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