Calcule a área da porção do cilindro x^2+y^2=a^2 compreendida entre os planos z=2x e z=4x.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a área de uma parte do cilindro definido por x^2 + y^2 = a^2 que está entre os planos z = 2x e z = 4x. Vamos usar geometria e um pouco de cálculo para resolver isso. Precisaremos entender como parametrizar o cilindro e integrar sobre a região limitada pelos dois planos.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar o cilindro x^2 + y^2 = a^2. Esse é um cilindro circular reto com raio a, estendendo-se infinitamente ao longo do eixo z. Para encontrar a área dessa parte específica, precisamos ver onde os planos z = 2x e z = 4x cortam o cilindro.

Passo 3

Vamos parametrizar o cilindro usando coordenadas cilíndricas. Em coordenadas cilíndricas, x = a costheta, y = a sintheta e z permanece z. Assim, podemos expressar os planos em termos de theta:
  • Para z = 2x: z = 2a costheta
  • Para z = 4x: z = 4a costheta

Passo 4

A área lateral de um cilindro pode ser calculada usando a fórmula $A = \int comprimento \times altura $. No nosso caso, a altura varia entre os dois planos, então a altura em cada ponto A = integral comprimento times a é theta.

Passo 5

O comprimento de um elemento em torno do cilindro é a dtheta (porque a é o raio e theta varia). Então, a área diferencial dA é:
dA = comprimento times a

Passo 6

Agora, precisamos integrar essa área diferencial ao longo de theta para cobrir toda a volta do cilindro onde costheta é positivo (já que a altura é positiva). costheta é positivo de -pi2 a pi2.

Passo 7

Então, a área total A é:
A = integral-pi2^pi2 2a^2 costheta , dtheta
Integrando:
A = 2a^2 [ sintheta ]-pi2^pi2 = 2a^2 (sinpi2 - sin(-pi2)) = 2a^2 (1 - (-1)) = 2a^2 times 2 = 4a^2

Resposta

A área da porção do cilindro entre os planos z = 2x e z = 4x é 4a^2.

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