Calcule a área da porção do cilindro
compreendida entre os planos
e
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a área de uma parte do cilindro definido por
que está entre os planos
e
. Vamos usar geometria e um pouco de cálculo para resolver isso. Precisaremos entender como parametrizar o cilindro e integrar sobre a região limitada pelos dois planos.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar o cilindro
. Esse é um cilindro circular reto com raio
, estendendo-se infinitamente ao longo do eixo
. Para encontrar a área dessa parte específica, precisamos ver onde os planos
e
cortam o cilindro.
Passo 3
Vamos parametrizar o cilindro usando coordenadas cilíndricas. Em coordenadas cilíndricas,
,
e
permanece
. Assim, podemos expressar os planos em termos de
:
- Para
: - Para
:
Passo 4
A área lateral de um cilindro pode ser calculada usando a fórmula $A = \int comprimento \times altura $. No nosso caso, a altura varia entre os dois planos, então a altura em cada ponto
é
.
Passo 5
O comprimento de um elemento em torno do cilindro é
(porque
é o raio e
varia). Então, a área diferencial
é:
Passo 6
Agora, precisamos integrar essa área diferencial ao longo de
para cobrir toda a volta do cilindro onde
é positivo (já que a altura é positiva).
é positivo de
a
.
Passo 7
Então, a área total
é:
Integrando:
Resposta
A área da porção do cilindro entre os planos
e
é
.