Uma organização de defesa do meio ambiente solta 100 animais de uma espécie ameaçada de extinção em uma reserva biológica. A organização acredita que a reserva tenha capacidade para sustentar 1.000 animais e que a manada aumenta de acordo com o modelo de crescimento logístico, ou seja, que o tamanho y da manada seja dada pela equação. integral 1y cdot(1000-y) cdot d y=integral k cdot d t.
Onde t é medido em anos. Determine essa curva logística. (Para obter os valores da constante de integração C e da constante de proporcionalidade k , suponha que y=100, para t=0 e y=134, para t=2) R: y(t)=10001+9 cdot e^-0,1656 cdot t

Passo 1

O enunciado fala de um modelo de crescimento logístico com capacidade de suporte (carrying capacity) igual a 1000 animais, taxa de crescimento proporcional a y(1–y/1000) e condições iniciais y(0)=100 e y(2)=134. Vamos resolver a EDO por separação de variáveis.

Passo 2

Escrevemos a equação diferencial e separamos variáveis:
Temos
dydt=k,yl(1-y1000r)
Então
integral1y(1000-y),dy=integral k,dt
Para facilitar, decompomos em frações parciais:
1y(1000-y)=11000l(1y+11000-yr)

Passo 3

Integramos cada lado:
integral1y(1000-y),dy =11000integrall(1y+11000-yr)dy =11000l(ln|y|-ln|1000-y|r) =kt+C
Multiplicando por 1000 e reagrupando constantes, obtemos
lny1000-y=1000,k,t+C1
que leva a
y1000-y=A,e^1000kt,
onde A=e^C1.

Passo 4

Usamos a condição inicial y(0)=100 para achar A:
1001000-100=100900=19=A
Logo o modelo é
y(t)=10001+9,e^-1000kt

Passo 5

Agora impomos y(2)=134 para determinar k:
134=10001+9,e^-2000k
1+9,e^-2000k=1000134
e^-2000k=1000/134-19=8661206approx0,7179
-2000k=ln(0,7179)Rightarrow k= -12000ln(0,7179)approx0,0001656
Note que 1000kapprox0,1656.

Passo 6

Substituindo em y(t), obtemos a curva logística final:
y(t)=10001+9,e^-0,1656,t

Resposta

y(t)=10001+9cdot e^-0,1656cdot t

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