Uma organização de defesa do meio ambiente solta 100 animais de uma espécie ameaçada de extinção em uma reserva biológica. A organização acredita que a reserva tenha capacidade para sustentar 1.000 animais e que a manada aumenta de acordo com o modelo de crescimento logístico, ou seja, que o tamanho y da manada seja dada pela equação.
.
Onde t é medido em anos. Determine essa curva logística. (Para obter os valores da constante de integração C e da constante de proporcionalidade k , suponha que
, para
e
, para
Onde t é medido em anos. Determine essa curva logística. (Para obter os valores da constante de integração C e da constante de proporcionalidade k , suponha que
Passo 1
O enunciado fala de um modelo de crescimento logístico com capacidade de suporte (carrying capacity) igual a 1000 animais, taxa de crescimento proporcional a y(1–y/1000) e condições iniciais y(0)=100 e y(2)=134. Vamos resolver a EDO por separação de variáveis.
Passo 2
Escrevemos a equação diferencial e separamos variáveis:
Temos
Então
Para facilitar, decompomos em frações parciais:
Passo 3
Integramos cada lado:
Multiplicando por 1000 e reagrupando constantes, obtemos
que leva a
onde
.
Passo 4
Usamos a condição inicial
para achar
:
Logo o modelo é
Passo 5
Agora impomos
para determinar
:
Note que
.
Passo 6
Substituindo em
, obtemos a curva logística final: