O número de diplomas de doutorado concedidos nos Estados Unidos entre 1991 e 1998 pode ser modelado pela função
N(t)=1020 t^2+4600 t+358019 t^2+119 t+100, onde t=1 representa 1991 e N é o número de diplomas em milhares. Determine o número total de diplomas concedidos entre 1991 e 1998 e o número médio de diplomas concedidos no mesmo período. R: 305.165 e 43.595.

Passo 1

O enunciado dá a função que modela, em milhares, o número de diplomas de doutorado concedidos nos EUA de 1991 (t=1) a 1998 (t=8):
Temos
N(t)=1020,t^2+4600,t+358019,t^2+119,t+100
Precisamos achar o total de diplomas no período e o número médio por ano. Para isso vamos usar integração (para aproximar o total) e depois a fórmula do valor médio de uma função.

Passo 2

Para obter o total de diplomas entre t=1 e t=8, consideramos a integral definida
integral1^8N(t),dt
E o número médio em 1991–1998 vem de
fméd=18-1integral1^8N(t),dt é
Então precisamos aproximar integral1^8N(t),dt.

Passo 3

Calculamos primeiro os valores de N(t) em cada ano (em milhares):

Passo 4

Usamos a regra do trapézio com passo h=1 para aproximar a integral:
integral1^8N(t),dtapprox hl(tfracN(1)+N(8)2+sumt=2^7N(t)r)
Substituindo,
integral1^8N(t),dtapprox1l(tfrac38.655+46.5952+(40.729+42.321+43.523+44.531+45.336+46.047)r)approx305.165
Isso está em milhares de diplomas.

Passo 5

O número médio de diplomas por ano no período é
fméd=18-1times305.165approx43.595 é
Isso também em milhares de diplomas.

Resposta

Total de diplomas ≈305.165 milhares; número médio ≈43.595 milhares por ano.

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