O número de diplomas de doutorado concedidos nos Estados Unidos entre 1991 e 1998 pode ser modelado pela função
, onde
representa 1991 e N é o número de diplomas em milhares. Determine o número total de diplomas concedidos entre 1991 e 1998 e o número médio de diplomas concedidos no mesmo período. R: 305.165 e 43.595.
Passo 1
O enunciado dá a função que modela, em milhares, o número de diplomas de doutorado concedidos nos EUA de 1991 (t=1) a 1998 (t=8):
Temos
Temos
Precisamos achar o total de diplomas no período e o número médio por ano. Para isso vamos usar integração (para aproximar o total) e depois a fórmula do valor médio de uma função.
Passo 2
Para obter o total de diplomas entre t=1 e t=8, consideramos a integral definida
E o número médio em 1991–1998 vem de
Então precisamos aproximar
.
Passo 3
Calculamos primeiro os valores de
em cada ano (em milhares):
Passo 4
Usamos a regra do trapézio com passo
para aproximar a integral:
Substituindo,
Isso está em milhares de diplomas.
Passo 5
O número médio de diplomas por ano no período é
Isso também em milhares de diplomas.
Resposta
Total de diplomas ≈305.165 milhares; número médio ≈43.595 milhares por ano.