Um grupo de roedores sociais é estudado durante um ano e os pesquisadores observam que o grupo ocupa uma área de 17,7 hectares. Continuando a observação, os pesquisadores descobrem que a área ocupada pelos roedores varia a uma taxa anual de aproximadamente y^prime(t)=9t^2+9 t, onde t >= 1.
Use o limite de y quando t tende a infinito para estimar a área final ocupada pelos roedores. R: Ln(10)+17,7

Passo 1

Estamos estudando como a área ocupada pelos roedores varia no tempo, dado que em t=1 ano a área é y(1)=17,7 hectares e a taxa de variação é y′(t)=9∕(t²+9t). O conteúdo aqui é cálculo de integral imprópria e limite de função para estimar o valor de y(t) quando t→∞.

Passo 2

Para encontrar y(t) usamos o teorema fundamental do cálculo. Escrevemos:
y(t)=y(1)+integral1^ty(s),ds=17,7+integral1^t9s(s+9),ds

Passo 3

Precisamos calcular a integral imprópria
integral1^∞9s(s+9),ds
para depois somar 17,7.

Passo 4

Fazemos a decomposição em frações parciais de 9∕[s(s+9)]. Procuramos A e B tais que
9s(s+9)=As+Bs+9
Logo: 9=A(s+9)+Bs ⇒ (A+B)s+9A=9, então A=1 e B=−1. Assim
9s(s+9)=1s-1s+9 .

Passo 5

Agora calculamos a integral:
integral1^tl(1s-1s+9r)ds=l[ln s-ln(s+9)r]1^t
Ao levar t→∞, temos ln t−ln(t+9)→0. Então
integral1^∞9s(s+9)ds=0-l(ln1-ln10r)=ln10 .

Passo 6

Somando ao valor inicial, a área final estimada é
17,7+ln10
hectares.

Resposta

17,7 + \ln(10) hectares

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