Um grupo de roedores sociais é estudado durante um ano e os pesquisadores observam que o grupo ocupa uma área de 17,7 hectares. Continuando a observação, os pesquisadores descobrem que a área ocupada pelos roedores varia a uma taxa anual de aproximadamente
, onde
.
Use o limite de y quando
tende a infinito para estimar a área final ocupada pelos roedores.
Use o limite de y quando
Passo 1
Estamos estudando como a área ocupada pelos roedores varia no tempo, dado que em t=1 ano a área é y(1)=17,7 hectares e a taxa de variação é y′(t)=9∕(t²+9t). O conteúdo aqui é cálculo de integral imprópria e limite de função para estimar o valor de y(t) quando t→∞.
Passo 2
Para encontrar y(t) usamos o teorema fundamental do cálculo. Escrevemos:
Passo 3
Precisamos calcular a integral imprópria
para depois somar 17,7.
Passo 4
Fazemos a decomposição em frações parciais de 9∕[s(s+9)]. Procuramos A e B tais que
Logo: 9=A(s+9)+Bs ⇒ (A+B)s+9A=9, então A=1 e B=−1. Assim
Passo 5
Agora calculamos a integral:
Ao levar t→∞, temos ln t−ln(t+9)→0. Então
Passo 6
Somando ao valor inicial, a área final estimada é
hectares.
Resposta
17,7 + \ln(10) hectares