Calcule a área da porção do plano que, no primeiro octante, se encontra limitada pelos planos e .
Passo 1
O enunciado pede a área da parte do plano que, no primeiro octante (, , ), fica entre os planos e . O conteúdo principal é parametrização de superfície e cálculo de área via integral de superfície.
Passo 2
Parametrizamos o plano escolhendo como parâmetros
de modo que
Na primeira região temos , e, pela restrição ,
O domínio em é o triângulo com vértices , e .
Passo 3
Calculamos os vetores parciais
O produto vetorial é
cuja norma vale
Passo 4
A área de D no plano (u,v) é a de um triângulo de base 2 e altura 1, ou seja
Área(D) = tfrac12 times 2 times 1 = 1 Á
Passo 5
A área da superfície é
integral duplaD | ru times rv|,dA = integral duplaD raiz2,dA = raiz2,Área(D) = raiz2times 1 = raiz2 Á