1. Calcule a área da porção do plano x=y que, no primeiro octante, se encontra limitada pelos planos z=0 e y+2 z=2.

Passo 1

O enunciado pede a área da parte do plano x=y que, no primeiro octante ( x>=0, y>=0, z>=0), fica entre os planos z=0 e y+2z=2. O conteúdo principal é parametrização de superfície e cálculo de área via integral de superfície.

Passo 2

Parametrizamos o plano x=y escolhendo como parâmetros
u = y, v = z,
de modo que
r(u,v) = (x,y,z) = (u,u,v)
Na primeira região temos u>=0, v>=0 e, pela restrição y+2z=2,
u + 2v <= 2
O domínio D em (u,v) é o triângulo com vértices (0,0), (2,0) e (0,1).

Passo 3

Calculamos os vetores parciais
ru = partialpartial u(u,u,v) = (1,1,0), rv = partialpartial v(u,u,v) = (0,0,1)
O produto vetorial é
ru times rv = (1,1,0)times(0,0,1) = (1,-1,0),
cuja norma vale
| ru times rv| = raiz1^2 + (-1)^2 + 0^2 = raiz2

Passo 4

A área de D no plano (u,v) é a de um triângulo de base 2 e altura 1, ou seja
Área(D) = tfrac12 times 2 times 1 = 1 Á

Passo 5

A área da superfície é
integral duplaD | ru times rv|,dA = integral duplaD raiz2,dA = raiz2,Área(D) = raiz2times 1 = raiz2 Á

Resposta

raiz2.

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