Os planetas Júpiter, Saturno e Urano têm período de translação em torno do Sol de aproximadamente 12, 30 e 84 anos, respectivamente. Quanto tempo decorrerá, depois de uma observação, para que eles voltem a ocupar simultaneamente as mesmas posições em que se encontram no momento de observação?
Passo 1
O enunciado diz que os planetas Júpiter, Saturno e Urano têm períodos de translação respectivamente de
,
e
anos. A pergunta é: após quantos anos eles estarão novamente na mesma configuração relativa? Como cada planeta só retorna à mesma posição depois de um número inteiro de voltas, precisamos achar o menor tempo
que seja múltiplo de
, de
e de
. Ou seja, calcular o mínimo múltiplo comum (MMC) desses três números.
Passo 2
Primeiro vamos escrever a fatoração em primos de cada período:
Passo 3
Para obter o MMC, pegamos cada fator primo com o maior expoente que aparece nas três fatorações:
- o maior expoente de
é , - o maior expoente de
é , - o maior expoente de
é , - o maior expoente de
é .
Logo,
Passo 4
Isso significa que, em
anos, cada planeta terá completado um número inteiro de órbitas e, portanto, todos voltarão simultaneamente às posições iniciais.