Os planetas Júpiter, Saturno e Urano têm período de translação em torno do Sol de aproximadamente 12, 30 e 84 anos, respectivamente. Quanto tempo decorrerá, depois de uma observação, para que eles voltem a ocupar simultaneamente as mesmas posições em que se encontram no momento de observação?

Passo 1

O enunciado diz que os planetas Júpiter, Saturno e Urano têm períodos de translação respectivamente de 12, 30 e 84 anos. A pergunta é: após quantos anos eles estarão novamente na mesma configuração relativa? Como cada planeta só retorna à mesma posição depois de um número inteiro de voltas, precisamos achar o menor tempo t que seja múltiplo de 12, de 30 e de 84. Ou seja, calcular o mínimo múltiplo comum (MMC) desses três números.

Passo 2

Primeiro vamos escrever a fatoração em primos de cada período:
12 = 2^2 times 3,
30 = 2 times 3 times 5,
84 = 2^2 times 3 times 7

Passo 3

Para obter o MMC, pegamos cada fator primo com o maior expoente que aparece nas três fatorações:
  • o maior expoente de 2 é 2,
  • o maior expoente de 3 é 1,
  • o maior expoente de 5 é 1,
  • o maior expoente de 7 é 1.
Logo,
MMC(12,30,84) = 2^2 times 3^1 times 5^1 times 7^1 = 4 times 3 times 5 times 7 = 420

Passo 4

Isso significa que, em 420 anos, cada planeta terá completado um número inteiro de órbitas e, portanto, todos voltarão simultaneamente às posições iniciais.

Resposta

420 anos.

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