1. Calcule a integral da função f(x, y, z)=z sobre a calota esférica x^2+y^2+z^2=4, z >= 0.

Passo 1

O enunciado pede a integral de superfície de f(x,y,z)=z sobre a calota esférica de equação x^2+y^2+z^2=4 com z>=0. O conteúdo envolvido é integral de superfície de uma função escalar e vamos usar coordenadas esféricas para parametrizar essa calota.

Passo 2

Parametrizamos a superfície por
x = 2sinvarphicostheta, y = 2sinvarphisintheta, z = 2cosvarphi,
com varphiin[0,tfracpi2] e thetain[0,2pi]. Em coordenadas esféricas de raio R=2, o elemento de área é
dS = R^2sinvarphi,dvarphi,dtheta = 4sinvarphi,dvarphi,dtheta

Passo 3

Na parametrização temos
f = z = 2cosvarphi
e
dS = 4sinvarphi,dvarphi,dtheta
Logo o integrando fica
z,dS = (2cosvarphi),(4sinvarphi,dvarphi,dtheta) = 8sinvarphicosvarphi,dvarphi,dtheta
A integral de superfície é
integral duplaSz,dS = integral0^2pi!!integral0^pi/28sinvarphicosvarphi,dvarphi,dtheta

Passo 4

Calculamos em duas etapas:
integral0^2pidtheta = 2pi,
integral0^pi/2sinvarphicosvarphi,dvarphi = 12integral0^pi/2sin(2varphi),dvarphi = 12l[-tfrac12cos(2varphi)r]0^pi/2 = 12cdot1 = 12
Multiplicando tudo:
integral duplaSz,dS = 8 times 2pi times 12 = 8pi

Resposta

O valor da integral de superfície é 8pi.)

Exercícios relacionados