Calcule a razão entre as áreas de um triângulo equilátero inscrito e um hexágono circunscrito à mesma circunferencia.

Passo 1

O enunciado pede a razão entre a área de um triângulo equilátero inscrito e a área de um hexágono regular circunscrito à mesma circunferência. Isso cai em Geometria de Polígonos Regulares, onde vamos precisar das fórmulas de lado de um polígono inscrito num círculo de raio R, do lado de um polígono circunscrito a um círculo de raio R (incírculo) e das fórmulas de área desses polígonos.

Passo 2

Para o triângulo equilátero inscrito num círculo de raio R, usamos que o lado st está dado por st = 2Rsin(pi/3). Como sin(pi/3)=tfracraiz32, temos
st = 2Rcdot raiz32 = Rraiz3
A área de um triângulo equilátero de lado s é
At = raiz34,s^2,

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