Calcule a área da regià delimitada pelas gráficas de f(x)=x^2+x e g(x)=2 x que comeca na origem e termina na primeira interseccaí após a origem. x=1
INterseccaí
x^2+x=2 x Rightarrow x^2-x=0 x(x-1)=0

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão de calcular a área que fica entre as curvas das funções $ f(x) = x^{2} + x $ e $ g(x) = 2x $. A gente precisa achar essa área que começa na origem (quando $ x = 0 $) e termina na primeira interseção depois da origem, que nesse caso é quando $ x = 1 $. Para resolver isso, vamos precisar saber um pouco sobre integração, que é uma ferramenta matemática usada para encontrar áreas sob curvas.

Passo 2

Primeiro, vamos confirmar onde as duas funções se encontram. Para isso, igualamos $ f(x) $ e $ g(x) $:
f(x)
Subtraindo $ 2x $ de ambos os lados, temos:
g(x)
Fatorando, obtemos:
x^2 + x = 2x
Então, as soluções são $ x = 0 $ e $ x = 1 $. Isso confirma que as curvas se interceptam nesses pontos.

Passo 3

Agora, para encontrar a área entre as curvas, precisamos saber qual delas está por cima entre $ x = 0 $ e $ x = 1 $. Vamos escolher um valor de $ x $ nesse intervalo, por exemplo, $ x = 0.5 $:
x = 0
x = 1
Como $ g(0.5) > f(0.5) $, a função $ g(x) $ está acima de $ f(x) $ nesse intervalo.

Passo 4

A área entre duas curvas é dada pela integral da diferença entre a função de cima e a função de baixo, de $ a $ até $ b $. No nosso caso, isso fica:
a Á
Simplificando dentro da integral:
b
Então, a integral fica:
Área = integral0^1 [g(x) - f(x)] , dx = integral0^1 [2x - (x^2 + x)] , dx Á

Passo 5

Vamos calcular essa integral passo a passo. A integral de $ -x^{2} $ é $ -\frac{x^{3}}{3} $ e a integral de $ x $ é $ \frac{x^{2}}{2} $. Então:
-x^2 Á
Isso significa que precisamos avaliar essa expressão para $ x = 1 $ e subtrair o valor quando $ x = 0 $.

Passo 6

Primeiro, avaliaremos em $ x = 1 $:
x = 1
Agora, para $ x = 0 $:
-(1)^33 + (1)^22 = -13 + 12 = -26 + 36 = 16
Subtraindo:
x = 0

Resposta

A área delimitada pelas gráficas das funções $ f(x) = x^{2} + x $ e $ g(x) = 2x $ entre $ x = 0 $ e $ x = 1 $ é $ \frac{1}{6} $ unidades de área.

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