Calcule a área da regià delimitada pelas gráficas de
e
que comeca na origem e termina na primeira interseccaí após a origem.
INterseccaí
INterseccaí
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão de calcular a área que fica entre as curvas das funções $ f(x) = x^{2} + x $ e $ g(x) = 2x $. A gente precisa achar essa área que começa na origem (quando $ x = 0 $) e termina na primeira interseção depois da origem, que nesse caso é quando $ x = 1 $. Para resolver isso, vamos precisar saber um pouco sobre integração, que é uma ferramenta matemática usada para encontrar áreas sob curvas.
Passo 2
Primeiro, vamos confirmar onde as duas funções se encontram. Para isso, igualamos $ f(x) $ e $ g(x) $:
Subtraindo $ 2x $ de ambos os lados, temos:
Fatorando, obtemos:
Então, as soluções são $ x = 0 $ e $ x = 1 $. Isso confirma que as curvas se interceptam nesses pontos.
Passo 3
Agora, para encontrar a área entre as curvas, precisamos saber qual delas está por cima entre $ x = 0 $ e $ x = 1 $. Vamos escolher um valor de $ x $ nesse intervalo, por exemplo, $ x = 0.5 $:
Como $ g(0.5) > f(0.5) $, a função $ g(x) $ está acima de $ f(x) $ nesse intervalo.
Passo 4
A área entre duas curvas é dada pela integral da diferença entre a função de cima e a função de baixo, de $ a $ até $ b $. No nosso caso, isso fica:
Simplificando dentro da integral:
Então, a integral fica:
Passo 5
Vamos calcular essa integral passo a passo. A integral de $ -x^{2} $ é $ -\frac{x^{3}}{3} $ e a integral de $ x $ é $ \frac{x^{2}}{2} $. Então:
Isso significa que precisamos avaliar essa expressão para $ x = 1 $ e subtrair o valor quando $ x = 0 $.
Passo 6
Primeiro, avaliaremos em $ x = 1 $:
Agora, para $ x = 0 $:
Subtraindo:
Resposta
A área delimitada pelas gráficas das funções $ f(x) = x^{2} + x $ e $ g(x) = 2x $ entre $ x = 0 $ e $ x = 1 $ é $ \frac{1}{6} $ unidades de área.