Calcule a área da região delimitada pelos gráficos de
e
, que começa na origem e termina na primeira interseção depois da origem.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a área da região que está entre os gráficos de duas funções: $ f(x) = x^{3} $ e $ g(x) = 3x^{2} $. Essa região começa na origem (0,0) e termina na primeira interseção dessas funções depois da origem. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo, especificamente a integração para encontrar áreas entre curvas.
Passo 2
Primeiro, vamos descobrir onde as duas funções se encontram além da origem. Para isso, igualamos $ f(x) $ e $ g(x) $:
Passo 3
Agora, vamos resolver a equação $ x^{3} = 3x^{2} $. Podemos fatorar o lado direito:
Isso nos dá duas soluções: $ x = 0 $ e $ x = 3 $. Sabemos que $ x = 0 $ é a origem, então a próxima interseção é em $ x = 3 $.
Passo 4
Agora que sabemos que a região vai de $ x = 0 $ até $ x = 3 $, precisamos identificar qual das duas funções está por cima nesse intervalo para saber como calcular a área entre elas.
Vamos calcular $ f(x) $ e $ g(x) $ em um valor dentro desse intervalo, por exemplo, $ x = 1 $:
Como $ g(1) > f(1) $, a função $ g(x) $ está acima de $ f(x) $ nesse intervalo.
Passo 5
Para encontrar a área entre as curvas de $ x = a $ a $ x = b $, usamos a integral de $ g(x) - f(x) $ de $ a $ a $ b $. Então, neste caso, a área $ A $ será:
Passo 6
Vamos calcular essa integral passo a passo. Primeiro, integramos cada termo separadamente:
Então, a integral fica:
Passo 7
Agora, aplicamos os limites de integração, substituindo $ x = 3 $ e $ x = 0 $:
Passo 8
Vamos simplificar a expressão:
Resposta
A área da região delimitada é
unidades de área.