Calcule a área da região delimitada pelos gráficos de f(x)=x^3 e g(x)=3 x^2, que começa na origem e termina na primeira interseção depois da origem.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a área da região que está entre os gráficos de duas funções: $ f(x) = x^{3} $ e $ g(x) = 3x^{2} $. Essa região começa na origem (0,0) e termina na primeira interseção dessas funções depois da origem. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo, especificamente a integração para encontrar áreas entre curvas.

Passo 2

Primeiro, vamos descobrir onde as duas funções se encontram além da origem. Para isso, igualamos $ f(x) $ e $ g(x) $:
f(x)

Passo 3

Agora, vamos resolver a equação $ x^{3} = 3x^{2} $. Podemos fatorar o lado direito:
x^3 = 3x^2
Isso nos dá duas soluções: $ x = 0 $ e $ x = 3 $. Sabemos que $ x = 0 $ é a origem, então a próxima interseção é em $ x = 3 $.

Passo 4

Agora que sabemos que a região vai de $ x = 0 $ até $ x = 3 $, precisamos identificar qual das duas funções está por cima nesse intervalo para saber como calcular a área entre elas.
Vamos calcular $ f(x) $ e $ g(x) $ em um valor dentro desse intervalo, por exemplo, $ x = 1 $:
x = 0
Como $ g(1) > f(1) $, a função $ g(x) $ está acima de $ f(x) $ nesse intervalo.

Passo 5

Para encontrar a área entre as curvas de $ x = a $ a $ x = b $, usamos a integral de $ g(x) - f(x) $ de $ a $ a $ b $. Então, neste caso, a área $ A $ será:
x = a

Passo 6

Vamos calcular essa integral passo a passo. Primeiro, integramos cada termo separadamente:
integral 3x^2 , dx = x^3 integral x^3 , dx = x^44
Então, a integral fica:
A = [ x^3 - x^44 ]0^3

Passo 7

Agora, aplicamos os limites de integração, substituindo $ x = 3 $ e $ x = 0 $:
x = 3

Passo 8

Vamos simplificar a expressão:
27 = 1084 A = 1084 - 814 = 274

Resposta

A área da região delimitada é 274 unidades de área.

Exercícios relacionados