Calcule os seguintes limites:
lim x 2 2 x^2-3 x-2x^3-2 x^2-3 x+6=

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite limxto 22x^2-3x-2x^3-2x^2-3x+6. O tema é limites de funções racionais e vamos precisar fatorar polinômios para simplificar a expressão antes de avaliar.

Passo 2

Primeiro, fatoramos o numerador 2x^2-3x-2. Procuramos raízes racionais e vemos que x=2 anula o denominador, então tentamos fatorar por divisão ou teste de raízes:
Veja que
2x^2-3x-2=(2x+1)(x-2)

Passo 3

Agora fatoramos o denominador x^3-2x^2-3x+6 por agrupamento:
Agrupando: (x3-2x2-3x+6 = x^2(x-2)-3(x-2) = (x^2-3)(x-2).]

Passo 4

Substituindo as fatorações, temos
2x^2-3x-2x^3-2x^2-3x+6 = (2x+1)(x-2)(x^2-3)(x-2)
Como xneq2 no limite (mas nos aproximamos de 2), podemos cancelar x-2:
(2x+1)(x-2)(x^2-3)(x-2) = 2x+1x^2-3

Passo 5

Por fim, avaliamos o limite substituindo x=2 na expressão simplificada:
limxto22x+1x^2-3 = 2cdot2+12^2-3 = 54-3 = 5

Resposta

5

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