Calcule as seguintes integrais
(1,0) integral0^1 1e^x+x(1+e^x) d x.
Dica: Uma substituição adequada pode simplificar a resolução dos dois últimos itens.

Passo 1

O enunciado pede o cálculo de
integral0^11+e^xe^x+x,dx
Repare que no numerador aparece exatamente a derivada do denominador, o que sugere o método de substituição.

Passo 2

Fazemos a substituição
u = e^x + x,
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du = l(e^x + 1r),dx,
que coincide com o numerador 1+e^x,dx.

Passo 3

Sob essa troca, os limites também mudam:
u(0)=e^0+0=1, u(1)=e^1+1=e+1
A integral fica
integral0^11+e^xe^x+x,dx = integralu=1^u=e+1duu = l[ln|u|r]1^e+1 = ln(e+1)-ln1 = ln(e+1)

Resposta

ln(e+1)

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