Calcule a área da região abaixo do gráfico de f\) nos seguintes casos: \(f(x)= \begin{cases}-x^{2}+1, & \text { se } x \in[0,1], \\\\ -(x-1)(x-4), & \text { se } x \in[1,4]\end{cases}

Passo 1

O enunciado pede a área sob o gráfico de uma função definida por partes em [0,4]. Isso se faz somando integrais definidas em cada intervalo onde f muda de expressão. Vamos usar antiderivadas para calcular
\int_{0}^{1}f(x)\,dx
e
\int_{1}^{4}f(x)\,dx
e em seguida somar os resultados.

Passo 2

No primeiro segmento, f(x)=-x^2+1 em [0,1]. Uma antiderivada é
F(x)=-\frac{x^3}{3}+x.
Logo
\int_{0}^{1}(-x^2+1)\,dx =F(1)-F(0) =\Bigl(-\tfrac{1^3}{3}+1\Bigr)-\Bigl(0+0\Bigr) =-\tfrac{1}{3}+1 =\tfrac{2}{3}.

Passo 3

No segundo segmento, f(x)=-(x-1)(x-4)=-x^2+5x-4 em [1,4]. Uma antiderivada é
G(x)=-\frac{x^3}{3}+\frac{5}{2}x^2-4x.
Assim
\int_{1}^{4}(-x^2+5x-4)\,dx =G(4)-G(1).
Calculando:
G(4)=-\frac{64}{3}+ \frac{5}{2}\cdot16-4\cdot4 =-\frac{64}{3}+40-16 =\frac{8}{3},
G(1)=-\frac{1}{3}+\frac{5}{2}\cdot1-4 =-\frac{1}{3}+2.5-4 =-\frac{11}{6}.
Logo
\int_{1}^{4}f(x)\,dx =\frac{8}{3}-\Bigl(-\frac{11}{6}\Bigr) =\frac{8}{3}+\frac{11}{6} =\frac{9}{2}.

Passo 4

Somando as duas áreas:
\frac{2}{3}+\frac{9}{2} =\frac{4}{6}+\frac{27}{6} =\frac{31}{6}.

Resposta

A área total sob o gráfico de f em [0,4] é \displaystyle \frac{31}{6}.

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