5 Consideremos uma partícula que se desloca sobre o eixo x com equação x=x(t) e com velocidade v=v(t) contínua em [a, b]. Qual é uma primitiva de v ?
(a) A diferença x(b)-x(a) é o deslocamento da partícula entre os instantes t=a e t=b. Como o Teorema Fundamental do Cálculo pode ser utilizado para calcular o deslocamento de uma partícula?
Definimos o espaço percorrido pela partícula entre os instantes t=a e t=b por \int_{a}^{b}|v(t)| d t.
(b) Uma partícula desloca-se sobre o eixo x com velocidade v(t)=-t^{2}+t, t \geq 0. Calcule o espaço percorrido entre os instantes t=0 e t=2.
(c) Uma partícula desloca-se sobre o eixo x com velocidade v(t)=2 t-3, t \geq 0. Calcule o deslocamento entre os instantes t=1 e t=3. Calcule o espaço percorrido entre os instantes t=1 e t=3. Descreva o movimento realizado pela partícula entre os instantes t=1 e $t=3.

Passo 1

O enunciado trata de uma partícula cujo movimento ao longo do eixo x é dado por x=x(t) com velocidade v(t)=x'(t), contínua em [a,b]. Pergunta-se:
(a) Qual é uma primitiva de v e como usar o Teorema Fundamental do Cálculo para achar o deslocamento?
(b) Para v(t)=-t^2+t, t\in[0,2], calcular o espaço percorrido \int_{0}^{2}|v(t)|\,dt.
(c) Para v(t)=2t-3, t\in[1,3], calcular o deslocamento \int_{1}^{3}v(t)\,dt, o espaço percorrido \int_{1}^{3}|v(t)|\,dt e descrever o movimento.

Passo 2

Para (a): como v(t)=x'(t), uma primitiva de v é justamente
F(t)=x(t),
pois F'(t)=x'(t)=v(t). Pelo Teorema Fundamental do Cálculo, o deslocamento entre t=a e t=b é
x(b)-x(a)=\int_{a}^{b}v(t)\,dt.
E o espaço total percorrido é
\int_{a}^{b}\bigl|v(t)\bigr|\,dt.

Passo 3

Para (b): v(t)=-t^2+t=t(1-t). O zero está em t=0 e t=1. Em [0,1], v(t)\ge0; em [1,2], v(t)\le0. Logo
\int_{0}^{2}|v(t)|\,dt =\int_{0}^{1}v(t)\,dt-\int_{1}^{2}v(t)\,dt.
Uma primitiva de v é
V(t)=-\frac{t^3}{3}+\frac{t^2}{2}.
Calculando em [0,1]:
\int_{0}^{1}v(t)\,dt =V(1)-V(0) =\Bigl(-\tfrac13+\tfrac12\Bigr)-0 =\tfrac{1}{6}.
Em [1,2]:
\int_{1}^{2}v(t)\,dt =V(2)-V(1) =\Bigl(-\tfrac{8}{3}+2\Bigr)-\Bigl(-\tfrac13+\tfrac12\Bigr) =-\tfrac{5}{6}.
Portanto
\int_{0}^{2}|v(t)|\,dt =\tfrac{1}{6}-\bigl(-\tfrac{5}{6}\bigr) =1.

Passo 4

Para (c): v(t)=2t-3.
  1. Deslocamento:
\int_{1}^{3}v(t)\,dt =\Bigl[t^2-3t\Bigr]_{1}^{3} =(9-9)-(1-3) =2.
  1. Espaço percorrido: o zero de v é t=\tfrac32. Em [1,\tfrac32], v<0; em [\tfrac32,3], v>0.
\int_{1}^{3}|v(t)|\,dt =-\int_{1}^{3/2}(2t-3)\,dt +\int_{3/2}^{3}(2t-3)\,dt.
Uma primitiva é W(t)=t^2-3t. Calculando cada parte:
-\bigl(W(\tfrac32)-W(1)\bigr) =-\Bigl(\bigl(\tfrac{9}{4}-\tfrac{9}{2}\bigr)-(1-3)\Bigr) =\tfrac{1}{4},
W(3)-W(\tfrac32) =(9-9)-\bigl(\tfrac{9}{4}-\tfrac{9}{2}\bigr) =\tfrac{9}{4},
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\int_{1}^{3}|v(t)|\,dt =\tfrac{1}{4}+\tfrac{9}{4} =\tfrac{5}{2}.
  1. Descrição do movimento: de t=1 a t=\tfrac32 a velocidade é negativa (movimento para a esquerda), e de t=\tfrac32 a t=3 a velocidade é positiva (movimento para a direita), resultando em deslocamento final de +2.

Resposta

(a) Uma primitiva de v é x(t). Pelo Teorema Fundamental do Cálculo,
x(b)-x(a)=\int_{a}^{b}v(t)\,dt,
e o espaço percorrido é \int_{a}^{b}|v(t)|\,dt.
(b) O espaço percorrido entre t=0 e t=2 é 1.
(c) O deslocamento entre t=1 e t=3 é 2; o espaço percorrido é \tfrac{5}{2}. De t=1 até t=\tfrac32 a partícula vai para a esquerda, e de t=\tfrac32 até t=3 vai para a direita.

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