5 Consideremos uma partícula que se desloca sobre o eixo x com equação x=x(t) e com velocidade v=v(t) contínua em [a, b]. Qual é uma primitiva de v ?
(a) A diferença x(b)-x(a) é o deslocamento da partícula entre os instantes t=a e t=b. Como o Teorema Fundamental do Cálculo pode ser utilizado para calcular o deslocamento de uma partícula?
Definimos o espaço percorrido pela partícula entre os instantes t=a e t=b por \int_{a}^{b}|v(t)| d t.
(b) Uma partícula desloca-se sobre o eixo x com velocidade v(t)=-t^{2}+t, t \geq 0. Calcule o espaço percorrido entre os instantes t=0 e t=2.
(c) Uma partícula desloca-se sobre o eixo x com velocidade v(t)=2 t-3, t \geq 0. Calcule o deslocamento entre os instantes t=1 e t=3. Calcule o espaço percorrido entre os instantes t=1 e t=3. Descreva o movimento realizado pela partícula entre os instantes t=1 e $t=3.
Passo 1
O enunciado trata de uma partícula cujo movimento ao longo do eixo x é dado por x=x(t) com velocidade v(t)=x'(t), contínua em [a,b]. Pergunta-se:
(a) Qual é uma primitiva de v e como usar o Teorema Fundamental do Cálculo para achar o deslocamento?
(b) Para v(t)=-t^2+t, t\in[0,2], calcular o espaço percorrido \int_{0}^{2}|v(t)|\,dt.
(c) Para v(t)=2t-3, t\in[1,3], calcular o deslocamento \int_{1}^{3}v(t)\,dt, o espaço percorrido \int_{1}^{3}|v(t)|\,dt e descrever o movimento.
Passo 2
Para (a): como v(t)=x'(t), uma primitiva de v é justamente
F(t)=x(t),
pois F'(t)=x'(t)=v(t). Pelo Teorema Fundamental do Cálculo, o deslocamento entre t=a e t=b é
x(b)-x(a)=\int_{a}^{b}v(t)\,dt.
E o espaço total percorrido é
\int_{a}^{b}\bigl|v(t)\bigr|\,dt.
Passo 3
Para (b): v(t)=-t^2+t=t(1-t). O zero está em t=0 e t=1. Em [0,1], v(t)\ge0; em [1,2], v(t)\le0. Logo
Descrição do movimento: de t=1 a t=\tfrac32 a velocidade é negativa (movimento para a esquerda), e de t=\tfrac32 a t=3 a velocidade é positiva (movimento para a direita), resultando em deslocamento final de +2.
Resposta
(a) Uma primitiva de v é x(t). Pelo Teorema Fundamental do Cálculo,
x(b)-x(a)=\int_{a}^{b}v(t)\,dt,
e o espaço percorrido é \int_{a}^{b}|v(t)|\,dt.
(b) O espaço percorrido entre t=0 e t=2 é 1.
(c) O deslocamento entre t=1 e t=3 é 2; o espaço percorrido é \tfrac{5}{2}. De t=1 até t=\tfrac32 a partícula vai para a esquerda, e de t=\tfrac32 até t=3 vai para a direita.