Dadas as soluções particulares. Use o wronskiano para verificar se essas funções são linearmente dependente (L.D.) ou linearmente independente (L.I.).
y_{1}(x)=e^{2 x}, \quad y_{2}(x)=e^{-\frac{3 x}{2}}

Passo 1

O enunciado nos dá duas soluções particulares
y_{1}(x)=e^{2x},\quad y_{2}(x)=e^{-\tfrac{3x}{2}}
de uma equação diferencial linear de segunda ordem e pede para usar o wronskiano a fim de verificar se elas são linearmente dependentes (L.D.) ou independentes (L.I.). Para isso vamos precisar calcular as derivadas de y_{1} e y_{2} e em seguida montar
W(y_{1},y_{2})(x) =\begin{vmatrix} y_{1}(x)&y_{2}(x)\\[6pt] y_{1}'(x)&y_{2}'(x) \end{vmatrix} =y_{1}(x)\,y_{2}'(x)-y_{2}(x)\,y_{1}'(x).]

Passo 2

Calculamos as derivadas:
y_{1}'(x) =\frac{d}{dx}e^{2x} =2e^{2x},
y_{2}'(x) =\frac{d}{dx}e^{-\tfrac{3x}{2}} =-\tfrac{3}{2}\,e^{-\tfrac{3x}{2}}.

Passo 3

Substituímos em
W(y_{1},y_{2})(x) =e^{2x}\,\Bigl(-\tfrac{3}{2}e^{-\tfrac{3x}{2}}\Bigr) -e^{-\tfrac{3x}{2}}\,\bigl(2e^{2x}\bigr).
Isso dá
W(y_{1},y_{2})(x) =\Bigl(-\tfrac{3}{2}-2\Bigr)e^{2x-\tfrac{3x}{2}} =-\tfrac{7}{2}\,e^{\tfrac{x}{2}}.

Passo 4

Note que -\tfrac{7}{2}e^{\tfrac{x}{2}} nunca é zero para nenhum x. Como o wronskiano é diferente de zero em todo o domínio, concluímos que y_{1} e y_{2} são linearmente independentes.

Resposta

As funções y_{1}(x)=e^{2x} e y_{2}(x)=e^{-\tfrac{3x}{2}} são linearmente independentes.

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