Considere a região
do plano cartesiano determinada pelas curvas
e
. Determine o volume do sólido obtido pela rotação de
pelo eixo
.
Passo 1
O enunciado define a região
limitada pelas curvas
e
, e pede o volume do sólido obtido ao girar
em torno da reta vertical
. O conteúdo é cálculo de volume por método das cascas cilíndricas.
Passo 2
Primeiro achamos os pontos de interseção de
e
. Substituindo
em
dá
Para
vem
, e para
vem
. Logo
está no primeiro quadrante, com
variando de
a
e, para cada
,
indo de
até
.
Passo 3
Usamos o método das cascas cilíndricas com barras verticais em
.
- Raio da casca:
- Altura da casca:
- Espessura:
.
Assim o volume vale
Passo 4
Expandindo o integrando:
Integramos termo a termo de
a
:
Somando:
Passo 5
Multiplicando por
, obtemos