Considere a região R do plano cartesiano determinada pelas curvas y=x^2 e x=y^2. Determine o volume do sólido obtido pela rotação de R pelo eixo x=-4.

Passo 1

O enunciado define a região R limitada pelas curvas y = x^2 e x = y^2, e pede o volume do sólido obtido ao girar R em torno da reta vertical x = -4. O conteúdo é cálculo de volume por método das cascas cilíndricas.

Passo 2

Primeiro achamos os pontos de interseção de
y = x^2 e x = y^2. Substituindo y = x^2 em x = y^2
x = (x^2)^2 = x^4
x^4 - x = 0 ;longrightarrow; x(x^3 - 1)=0 ;longrightarrow; x=0 ou x=1
Para x=0 vem y=0, e para x=1 vem y=1. Logo R está no primeiro quadrante, com x variando de 0 a 1 e, para cada x, y indo de yinf=x^2 até ysup=raizx.

Passo 3

Usamos o método das cascas cilíndricas com barras verticais em x.
  • Raio da casca:
r(x) = l(distância de x até x=-4r)=x - (-4)=x+4 âé
  • Altura da casca:
h(x)=ysup-yinf=raizx-x^2
  • Espessura: dx.
    Assim o volume vale
V = 2pi integral0^1 r(x),h(x),dx =2pi integral0^1(x+4)l(raizx-x^2r)dx

Passo 4

Expandindo o integrando:
(x+4)(raizx-x^2) = x^3/2+4x^1/2-x^3-4x^2
Integramos termo a termo de 0 a 1:
integral0^1x^3/2dx=25, integral0^14x^1/2dx=83, integral0^1(-x^3)dx=-14, integral0^1(-4x^2)dx=-43
Somando:
integral0^1(x^3/2+4x^1/2-x^3-4x^2),dx =25+83-14-43 =8960

Passo 5

Multiplicando por 2pi, obtemos
V=2picdot8960=89pi30

Resposta

V = 89pi30

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