Calcule a área da região que compõe o conjunto de todos os pontos (
,
) tais que
e
Passo 1
O enunciado pede a área da região fechada pelas três curvas: y = x + 6, y = x^{2} e y = -\tfrac{x}{2}. Vamos precisar achar os pontos de interseção entre cada par de curvas, decidir quais delas formam o topo e o fundo da região em cada intervalo de x e, então, integrar a diferença das funções.
Passo 2
Calcular interseções: 1) x^{2} = x + 6 ⇒ x^{2} - x - 6 = 0 ⇒ x = 3 ou x = -2, dando pontos A(3,9) e B(-2,4). 2) x + 6 = -\tfrac{x}{2} ⇒ 2x + 12 = -x ⇒ x = -4, ponto C(-4,2). 3) x^{2} = -\tfrac{x}{2} ⇒ x(x + 1/2) = 0 ⇒ x = 0 ou x = -1/2, pontos D(0,0) e E(-1/2,1/4). Das seis interseções, as que fecham o laço são B(-2,4), C(-4,2) e D(0,0), pois cada uma é interseção de dois dos três gráficos.
Passo 3
Determinar quem é topo e quem é fundo em cada trecho: Para x∈[-4,-2], y_{top} = x+6 (linha crescente) e y_{bot} = -\tfrac{x}{2} (linha decrescente). Para x∈[-2,0], y_{top} = x^{2} (parábola) e y_{bot} = -\tfrac{x}{2}.
Passo 4
Montar e calcular as integrais: Área = \displaystyle \int_{-4}^{-2}\bigl[(x+6)-(-\tfrac{x}{2})\bigr],dx ;+
; \int_{-2}{0}\bigl[x{2}-(-\tfrac{x}{2})\bigr],dx.
; \int_{-2}{0}\bigl[x{2}-(-\tfrac{x}{2})\bigr],dx.
Passo 5
Calcular cada integral: Primeiro termo: \displaystyle \int_{-4}^{-2}\Bigl(x+6+\tfrac{x}{2}\Bigr)dx = \Bigl[\tfrac{3}{4}x^{2} +6x\Bigr]{-4}^{-2} = (-9)-(-12)=3. Segundo termo: \displaystyle \int{-2}{0}\Bigl(x{2}+\tfrac{x}{2}\Bigr)dx = \Bigl[\tfrac{1}{3}x{3}+\tfrac{1}{4}x{2}\Bigr]_{-2}^{0} = 0-\bigl(-\tfrac{5}{3}\bigr)=\tfrac{5}{3}.
Passo 6
Somando as duas partes obtemos: 3 + \tfrac{5}{3} = \tfrac{14}{3}.
Resposta
\displaystyle \tfrac{14}{3}