Calcule a derivada segunda da função
.
Passo 1
O enunciado pede a derivada segunda de f(x)=
. O conteúdo envolve derivação de quociente (ou, equivalentemente, derivação de produto com potência negativa) e regra da cadeia.
Passo 2
Reescrevemos a função como produto para aplicar a regra do produto:
Passo 3
Aplicando a regra do produto e a regra da cadeia, temos:
$$f’(x)=3,(x-1){-2}+(3x-2),(-2),(x-1){-3}.
$$
Passo 4
Agora simplificamos f’(x) com denominador comum
:
$$f’(x)=\frac{3(x-1)-2(3x-2)}{(x-1)3}=\frac{-3x+1}{(x-1)3}.
$$
Passo 5
Para f’’(x), usamos a regra do quociente em f’(x)=u/v com
e
. Calculando derivadas:
Passo 6
Então
$$f’’(x)=\frac{u’v - u v’}{v2}=\frac{-3(x-1)3 -(-3x+1),3(x-1)2}{(x-1)6}.
$$
Passo 7
Fatorando
no numerador e simplificando o expoente no denominador, obtemos:
$$f’’(x)=\frac{-12x+6}{(x-1)4}=\frac{6(1-2x)}{(x-1)4}.
$$