Calcule a derivada segunda da função f(x)=3 x-2(x-1)^2.

Passo 1

O enunciado pede a derivada segunda de f(x)= 3x-2(x-1)^2. O conteúdo envolve derivação de quociente (ou, equivalentemente, derivação de produto com potência negativa) e regra da cadeia.

Passo 2

Reescrevemos a função como produto para aplicar a regra do produto:
f(x)=(3x-2),(x-1)^-2

Passo 3

Aplicando a regra do produto e a regra da cadeia, temos:
$$f’(x)=3,(x-1){-2}+(3x-2),(-2),(x-1){-3}.
$$

Passo 4

Agora simplificamos f’(x) com denominador comum (x-1)^3:
$$f’(x)=\frac{3(x-1)-2(3x-2)}{(x-1)3}=\frac{-3x+1}{(x-1)3}.
$$

Passo 5

Para f’’(x), usamos a regra do quociente em f’(x)=u/v com u=-3x+1 e v=(x-1)^3. Calculando derivadas:
u'=-3, v'=3(x-1)^2

Passo 6

Então
$$f’’(x)=\frac{u’v - u v’}{v2}=\frac{-3(x-1)3 -(-3x+1),3(x-1)2}{(x-1)6}.
$$

Passo 7

Fatorando (x-1)^2 no numerador e simplificando o expoente no denominador, obtemos:
$$f’’(x)=\frac{-12x+6}{(x-1)4}=\frac{6(1-2x)}{(x-1)4}.
$$

Resposta

f''(x)=6(1-2x)(x-1)^4

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